Поперечность электромагнитных волн

Сейчас мы рассмотрим, как происходят колебания в электромагнитной волне. Пусть волна будет плоской, т.е. E и H не зависят от x и y.

Вернемся к уравнениям Максвелла:

                                                                                  (1a)

                                                                                                    (2a)

                                                                                                (3a)

                                                                                                                (4a)

Отсюда видно, что H_z и E_z не зависят от z и t, т.е они могут быть либо постоянными, либо равными нулю. Мы рассматриваем только изменяющиеся поля, т.е. можем положить их = 0.

Таким образом, мы получим, что изменяются только E_x, E_y и H_x, H_y. Это означает, что вектор E =E_x i +E_y j перпендикулярен направлению распространения света. Аналогично, вектор H перпендикулярен направлению распространения.

Как ориентирован вектор E и вектор H друг относительно друга? Из (1а) и (3а) мы видим, что H_x связано с E_y и H_y c E_x.

Если первоначально E_y = 0, т.е. было создано поле, которое меняется только вдоль оси Y, то оно создает поле H_x. Поле H_x создает поле E_y и т.д.

Таким образом векторы E, H, z образуют правую тройку.

Из (3а) возьмем  от 2-го уравнения:

                                              

       или        (9)

Это частные случаи волнового уравнения. Из них следует, что зная вектор  всегда можно найти другой вектор — . Это однозначное соответствие. Покажем это:

Решение волнового уравнения.

 

До сих пор мы не конкретизировали вид функций E (x,y,z,t) и H (x,y,z,t). Особенно большое значение имеют гармонические или монохроматические волны. Простейшим решением волнового уравнения является функция:

                                            E_y(z,t) = E₀cos(wt-kz+a)                                             (10)

                                            H _x(z,t) = H₀cos(wt-kz+a)                                            (11)

Подставим в уравнения Максвелла, учитывая что

                      

                      

                      

                                 (12)

Зная E,  всегда можно найти H.

E, H, k — правая тройка.

Комплексные функции.

Здесь и далее мы будем представлять гармонические функции cos и sin в виде комплексных чисел. Вспомним некоторые свойства комплексных чисел

z ₁ = x₁+ iy₁, z₂ = x₂ + iy₂

Сумма:                           z = z _{1 +} z₂  = (x₁ +x₂) + i(y₁ +y₂)

Re z = Re z₁ + Re z₂

Производная:                 

Интеграл:                      

.

Формула Эйлера: