Решения действительные и комплексные

Как видно из формулы Эйлера, функцию cosa можно представить как

. (2.1)

Оказывается (проверить самим), что функция тоже является решением волнового уравнения. Значит, чтобы найти действительное решение, имеющее физический смысл, мы можем:

а) искать решение Е(x,y,z,t) в комплексной форме

б) взять от него действительную часть.

Внимание! Это справедливо, когда мы производим линейные операции над амплитудой — сложение, дифференцирование, интегрирование.

Использование комплексных функций оправдано тем, что целый ряд операций (например, дифференцирование) проще производить с экспоненциальными функциями, чем с синусоидальными.

Простейшие решения. Для монохроматического излучения зависимость от времени у всех видов волн будет одинакова. Но пространственная структура может быть разной.

Плоская волна: Для плоской волны зависимость вектора E от времени и координат имеет вид

(2.2)

Волновой фронт (поверхность одинаковой фазы) описывается уравнением

= k_xx+k_yy+k_zz = const (2.3)

Это уравнение плоскости. Для любой точки этой плоскости wt- kr +a будет одинаково и Е будет одинаково.

Сферическая волна: (2.4)

=kr = (2.5)

Для любой точки сферы wt- kr +a будет одинаково и Е тоже будет одинаково.

Решение волнового уравнения может быть и в виде других волн — сферических, цилиндрических, гауссовых пучков. Более того любая сумма волн (их линейная комбинация) также удовлетворяет волновому уравнению.

Излучение диполя.

Процесс возбуждения электромагнитных волн какой-либо системой в окружающем пространстве называется излучением этих волн, а сама система называется излучающей. Поле электромагнитных волн называется полем излучения. Согласно классической электродинамики электромагнитные волны возбуждаются электрическими зарядами, движущимися с ускорением. Простейшей излучающей системой является электрический диполь, момент p которого изменяется со временем.