Компоненты радиус-вектора

Кинематика

Основные понятия

Материальная точка: тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения.

Система материальных точек и число степеней свободы м.т. (системы м.т.) – число независимых параметров, необходимых для фиксации ее положения в пространстве. Выбор этих параметров может быть проведен по-разному, однако их число от  конкретного выбора не зависит, являясь важнейшей инвариантной характеристикой системы. Чем больше у механической системы степеней свободы, тем сложнее оказывается математический анализ закона ее движения.Материальную точку классической механики можно рассматривать как простейшие механические объекты, обладающие наименьшим числом степеней свободы. Это число совпадает с размерностью реального физического пространства, т.е. равно трем.

Абсолютно твердое тело: тело, у которого размеры и форма не меняются.

Тело отсчета: тело, относительно которого определяют положение других тел.

Система отсчета: система координат, связанная с телом отсчета и способ измерения времени (часы).

Радиус-вектор r - это вектор, проведенный из начала координат  в какую-либо точку пространства. Зависимость радиуса-вектора от времени определяет кинематический закон движения тела . Это векторное уравнение эквивалентно заданию трёх скалярных уравнений , , , которые также называются кинематическими законами движения.

Компоненты радиус-вектора

В трёхмерном пространстве                 на плоскости

 

 

 

 

 

единичные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

Модуль радиус-вектора     - по теореме Пифагора.

Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

Путь - длина отрезка траектории.

Перемещение - вектор, проведенный из начального положения материальной точки в ее конечное положение.

Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

 

Скорость всегда направлена по касательной к траектории

Компоненты скорости

Вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

v_x, v_y - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

  компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени:

; ; . Зная проекции, мы всегда построим вектор скорости.

Средняя скорость. По теореме о среднем имеем:

Средний модуль скорости за время    D t = t ₂- t ₁      

Средний вектор скорости за время    D t = t ₂- t ₁      

Модуль скорости - производная пути по времени.

.

По теореме Пифагора: .

Вычисление пройденного пути: путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени:

v₁ в течение отрезка Δt_i приблизительно постоянны, если Δt достаточно мало.
В пределе:

,

Ускорение - это производная скорости по времени.

или:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины.

Ускорение - это скорость изменения скорости.