2018-02-13
3083
Под средней величиной в статистике понимается обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности, выражающая его типичный уровень в конкретных условиях места и времени.
Средняя величина исчисляется по качественно однороднойсовокупности единиц. Различают степенные и структурные средние.
Средняя арифметическаявеличина определяется в случае, когда общий объем изучаемого признака может быть получен, путем суммирования его индивидуальных значений. Средняя арифметическая представляет собой частное от деления общего объема данного признака в изучаемом явлении на число единиц совокупности.
Средняя гармоническая используется, когда имеются индивидуальные значения признака, общий объем явления (w=xf), но неизвестны веса (f).
Средняя геометрическая применяется при расчете средних темпов роста.
Средняяквадратическая применяется в тех случаях, когда в исходной информации осредняемые величины представлены квадратичными мерами (например, при расчете средних диаметров труб, стволов деревьев).
|
|
|
Средняя хронологическая применяется для определения среднего уровня в моментном ряду динамики.
Модой 
дискретного вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту. Ряды могут быть одно и многомодальными.
Медианой 
дискретного вариационного ряда называется вариант, делящий ряд на две равные части.
Таблица 3.1 – Формулы расчета средних величин
| Наименование средней | Простая форма | Взвешеннаяформа |
| Средняя арифметическая |  =  (3.1)
| =  (3.2)
|
| Средняя гармоническая | =  (3.3)
| =  (3.4)
|
| Средняя квадратическая | =  (3.5)
| =  (3.6)
|
| Средняя геометрическая | =  (3.7)
| =  (3.8)
|
| Средняя хронологическая |
| |
| Мода |
h- длина модального интервала;
| |
| Медиана |
h - длина медианного интервала; n - объем совокупности;
медианному;
| |
(3.9)
(3.10)
- начало модального интервала;
частота модального интервала;
-частота предмодального интервала;
-частота послемодального интервала.
(3.11)
-начало медианного интервала;
-накопленная частота интервала, предшествующего
-частота медианного интервала.Для характеристики колеблемости или рассеяния значений признака применяются абсолютные и относительные показатели вариации.
Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака.
Среднее линейное отклонение (L) - это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариант признака от среднего значения.
Дисперсия (σ2) представляет собой средний квадрат отклонений вариант признака от их средней величины.
|
|
|
Среднее квадратическое отклонение (σ) определяется как корень квадратный из дисперсии.
Относительным показателем колеблемости служит коэффициент вариации, который позволяет судить об интенсивности вариации признака, а, следовательно, и об однородности состава изучаемой совокупности.
Таблица 3.2 – Формулы расчета показателей вариации
| Наименование показателя | Простая форма | Взвешеннаяформа |
| Размах вариации | R=хmax - хmin (3.12) | |
| Среднее линейное отклонение | L =  (3.13)
| L =  (3.14)
|
| Дисперсия |  =  (3.15)
|  (3.16)
|
| Среднее квадратическое отклонение | 
(3.17)
|  (3.18)
|
| Коэффициент вариации | V = | |
или V = 
(3.19)Задача 3.1. По данным пяти сельскохозяйственных организаций (приложение А)определить среднюю численность работников, среднегодовую заработную плату на одного работника и показатели вариации численности работников и среднегодовой заработной платы. Сделать вывод.
Методические указания:
Среднюю численность работников на одну организацию и показатели вариации рассчитать как простые формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Все вспомогательные вычисления провести с использованием макета таблицы3.3.
Таблица 3.3 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
численности работников
| Организация | Среднегодовая численность работников, чел. | Отклонение от средней, чел. | Квадрат отклонения |
| х | 
| 
| |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 | |||
| Итого | - |
Среднегодовую оплату труда работников и показатели вариации оплаты труда определить с использованием взвешенной формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Расчеты представить в таблице 3.4.
Таблица 3.4 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
среднегодовой заработной платы
| Организация | Среднегодовая оплата труда работника, тыс. руб. | Среднегодовая численность работников, чел | Фонд заработной платы, тыс. руб. | Отклонение от средней, тыс. руб. | Отклонения | Общий размер квадрата отклонений |
| х | f | х f |
| f
| f
| |
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| Итого | - | - |
Задача 3.3. Поданным таблицы 3.5 определить средний процент рентабельности продаж в организациях за каждый год, абсолютный прирост прибыли и рентабельности по каждойорганизации и в целом по всей совокупности.Сделать вывод.
Таблица 3.5 – Финансовые результаты реализации продукции
| Предприятие | 2008 г. | 2010 г. | ||
| Выручка от продаж, млн.руб. | Рентабельность продаж, % | Прибыль от продаж, млн. руб. | Рентабельность продаж, % | |
| 1 | 120 | 10,5 | 15,6 | 10,1 |
| 2 | 85 | 8,9 | 7,1 | 5,0 |
| 3 | 128 | 21,4 | 30,6 | 25,2 |
| 4 | 241 | 14,7 | 34,4 | 16,4 |
Задача 3.4. По даннымтаблицы 3.6 определить среднюю урожайность озимой пшеницы,модальное и медианное значения, показатели вариации. Сделать вывод.
Таблица 3.6 – Распределение организаций по урожайности озимой пшеницы
| Группа организаций по урожайности озимой пшеницы, ц/га | Число
организаций в группе
( )
| Среднее значение интервала
( )
| 
| 
|
|
| 20,01 – 26,7 | 6 | ||||
| 26,71 – 33,4 | 9 | ||||
| 33,41 – 40,1 | 11 | ||||
| 40,11 – 46,8 | 13 | ||||
| 46,81 – 53,5 | 6 | ||||
| 53,51 – 60,2 | 5 | ||||
| Итого | 50 |
Задача 3.5. По данным таблицы 3.7 определить среднее число детей на одну семью, модальное и медианное значения. Ряд распределения изобразить графически. Сделать вывод.
Таблица 3.7 – Распределение семей по числу детей
|
|
|
| Число детей в семье | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Число семей | 15 | 220 | 159 | 67 | 24 |
Вопросы для самоподготовки
1. Что понимается под средней величиной в статистике?
2. Условия правильного применения средних величин.
3. Назовите виды и формы средних величин.
4. Что характеризует вариация признака?
5. Показатели вариации и способы их расчета.
РЯДЫ ДИНАМИКИ
Одной из важнейших задач статистики является изучение изменения экономических явлений во времени, путем построения и анализа рядов динамики. Ряд динамики представляет собой численные значения статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени.
Графически ряды динамики изображаются линейными, либо столбиковыми диаграммами. По оси абсцисс откладываются показатели времени, а по оси ординат - уровни ряда (либо базисные темпы роста).
Введем условные обозначения:
уi – текущий (сравниваемый) уровень, i =1,2,3,…,n;
у1 – уровень, принятый за постоянную базу сравнения (обычно начальный);
уп – конечный уровень.
Для характеристики развития явления во времени определяют показатели: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста базисным и цепным способом, значение одного процента прироста (таблица 4.1).
Таблица 4.1- Расчет текущих показателей ряда динамики
| Показатель | Метод расчета | |
| базисный (с постоянной базой) | цепной (с переменной базой) | |
| Абсолютный прирост (А) |  (4.1)
|  (4.2)
|
| Коэффициент роста (Кр) |   (4.3)
|  (4.4)
|
| Темп роста (Тр) |  (4.5)
|  (4.6)
|
| Темп прироста (Тпр) |  (4.7)
|  (4.8)
|
| Абсолютное значение 1 % прироста (Зн.1%) | Зн.1% = 0,01 уi-1 или Зн.1%= | |
(4.9)
Для характеристики интенсивности развития явления за длительный период времени рассчитываются средние показатели динамики (таблица4.2).
Средние показатели динамики исчисляются одинаково для интервальных и моментных рядов, исключение составляет лишь расчет среднего уровня ряда.
Таблица 4.2 – Расчет средних показателей ряда динамики
| Показатель | Метод расчета |
Средний уровень ( )
а) интервального ряда
|  (4.10)
|
| б) моментного ряда с равными интервалами |  (4.11)
|
| в) моментного ряда с неравными интервалами |  (4.12)
|
Средний абсолютный
прирост ( )
|  или  (4.13)
|
Средний коэффициент
роста ( )
|  =  или  (4.14)
|
Средний темп роста ( ), %
|  =  · 100 % (4.15)
|
Средний темп прироста ( ), %
|  =  -100 % или  =( -1)·100% (4.16)
|
Среднее значение 1% прироста, 
|  (4.17)
|
Для выявления тенденции развития в рядах динамики применяют различные методы: укрупнения временных интервалов (периодов); скользящих средних; аналитического выравнивания.
|
|
|
Основным условием построения и анализа ряда динамики является сопоставимость уровней во времени.
К несопоставимости приводит изменение состава или территориальных границ изучаемой совокупности, переход к другим единицам измерения, инфляционные процессы. Несопоставимыми ряды динамики являются и в том случае, если они составлены из неодинаковых по продолжительности времени периодов.
При обнаружении несопоставимости уровней ряда должна применяться процедура смыкания, если невозможен их прямой пересчет.
Смыкание может быть произведено двумя способами.
1 способ. Данные за предшествующие периоды умножаются на коэффициент перехода, который определяется как отношение показателей на тот момент времени, когда произошло изменение условий формирования уровней ряда.
2 способ. Уровень переходного периода принимается для второй части ряда за 100% и от этого уровня определяются соответствующие показатели. При этом получается сопоставимый ряд относительных величин.
Иногда в динамических рядах отсутствуют промежуточные или последующие уровни. Их можно исчислить с помощью методов интерполяции (нахождение промежуточного неизвестного уровня, при наличии известных соседних уровней) и экстраполяции (нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, или в прошлое на основании текущих уровней).
Пример 4.1. По имеющимся данным о цене производителей на автомобильный бензин рассчитать показатели ряда динамики. Сделать вывод.
Таблица 4.3 - Расчет показателей ряда динамики
| Год | Цена производителей автомобильного бензина, руб./т | Абсолютный прирост, руб. | Коэффициент роста | Темп роста, % | Темп прироста, % | Значение 1% прироста, руб. | ||||
| базисный | цепной | базисный | цепной | базисный | цепной | базисный | цепной | |||
| Аб | Ац | Кр б | Кр ц | Тр б | Тр ц | Т пр б | Т пр ц | Зн.1% | ||
| 2006 | 9159,0 | - | - | - | - | 100,0 | 100,0 | - | - | - |
| 2007 | 10965,0 | 1806,0 | 1806,0 | 1,197 | 1,197 | 119,7 | 119,7 | 19,7 | 19,7 | 91,59 |
| 2008 | 14268,0 | 5109,0 | 3303,0 | 1,558 | 1,301 | 155,8 | 130,1 | 55,8 | 30,1 | 109,65 |
| 2009 | 8963,0 | -196,0 | -5305,0 | 0,979 | 0,628 | 97,9 | 62,8 | -2,1 | -37,2 | 142,68 |
| 2010 | 13831,0 | 4672,0 | 4868,0 | 1,510 | 1,543 | 151,0 | 154,3 | 51,0 | 54,3 | 89,63 |
| Средние показатели | 11437,2 | 1168,0 | 1,109 | 110,9 | 10,9 | 107,16 | ||||
Вывод: расчеты показали, что средняя цена бензина в динамике за 5 лет составила11437,2 руб. за 1 т. При этом ежегодно наблюдался рост цены в среднем на 1168,0 руб. или на 10,9%.Один процент прироста соответствовал107,16 руб.
Пример 4.2. Методом аналитического выравнивания определить тенденцию изменения средней цены производителей лука репчатого. Сделать вывод.
Методические указания:
Метод аналитического выравнивания состоит в подборе для данного ряда динамики такой теоретической линии, которая выражает основные черты или закономерности изменения уровней явления. Чаще всего при выравнивании используют линейное уравнение:
= а + bt, (4.18)
где а – свободный член уравнения;
b – коэффициент;
t – порядковый номер года.
Параметры а и b определяют способом наименьших квадратов, решая систему двух нормальных уравнений:
(4.19)
Систему можно упростить, перенеся начало отсчета времени t (начало координат) в середину ряда динамики. Тогда ∑t = 0 и система примет вид:
Отсюда получаем:
(4.20)
Заполним вспомогательную таблицу 4.4.
По имеющимся данным найдем параметры «а» и «b» следующим образом:
а = 
; b = 
.
Уравнение прямой примет вид: = 6,53 + 0,49t.
Подставим значения t в уравнение и найдем теоретические (выравненные) уровни средней цены производителей репчатого лука (последний столбец таблицы 4.4).
Таблица 4.4 - Вспомогательная таблица
| Год | Средняя цена производителей лука репчатого, руб./кг у | Номер года t | Квадрат номера года t2 | Произведение параметров уt | Выравненные
значения
 =а+bt
|
| 2002 | 4,40 | -4 | 16 | -17,59 | 4,57 |
| 2003 | 5,46 | -3 | 9 | -16,38 | 5,06 |
| 2004 | 5,48 | -2 | 4 | -10,96 | 5,55 |
| 2005 | 4,87 | -1 | 1 | -4,87 | 6,04 |
| 2006 | 7,56 | 0 | 0 | 0,00 | 6,53 |
| 2007 | 8,36 | 1 | 1 | 8,36 | 7,02 |
| 2008 | 6,70 | 2 | 4 | 13,40 | 7,51 |
| 2009 | 6,19 | 3 | 9 | 18,58 | 8,00 |
| 2010 | 9,72 | 4 | 16 | 38,88 | 8,49 |
| Итого | 58,73 | 0 | 60 | 29,41 | 58,73 |
Фактические и теоретические уровни цен изобразим на рисунке 4.1.
|
t=6,53+0,49t
Рисунок 4.1-Динамика средней цены производителей
репчатого лука, руб./кг
Вывод: расчеты показали, что средняя цена лука репчатого за 2002-2010 гг. составила 6,53 руб. за 1 кг. В среднем она ежегодно повышалась на 0,49 руб. На графике наглядно видна четко выраженная тенденция к росту цены исследуемогопродукта.
Пример 4.3. В 2007 г. на предприятии была произведена смена оборудования, что привело к несопоставимости ряда динамики (таблица 4.5). Привести его к сопоставимому виду, применив смыкание динамического ряда. Сделать вывод.
Таблица 4.5 – Динамика объемов производства продукции предприятия
| Объем производства продукции, млн. руб. | Год | |||||
| 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | |
| При старом оборудовании | 19,7 | 20,2 | 21,2 | |||
| При новом оборудовании | 22,8 | 24,6 | 25,2 | 26,1 | ||
| Смыкание по 1 способу, млн.руб. | 21,2 | 21,7 | 22,8 | 24,6 | 25,2 | 26,1 |
| Смыкание по 2 способу, % | 92,9 | 95,3 | 100,0 | 107,9 | 110,5 | 114,4 |
а) 
19,7 ∙ 1,0755 = 21,2;
б) 
.
Вывод: расчеты показали, что смена оборудования на данном предприятии привела к росту объема производства продукции. При этом в динамике за 6 лет он увеличился на 4,9 млн. руб. или на 23,1 %.
Задача 4.1. Численность работников предприятия на 1.03 составила 315 чел. 6.03 уволилось 4 чел., 12.03 принято 5 чел., 19.03 принято 3 чел., 24.03 уволилось 8 чел., 28.03 принято 2 чел. Определить среднюю численность работников за март месяц.
Задача 4.2. Поголовье коров в сельскохозяйственнойорганизации на 1.01 составляло 800 гол.,15.01 было выбраковано 30 гол., 5.02 переведено из нетелей в основное стадо 55 гол., 24.02 куплено 10 гол., 12.03 продано 15 гол., 21.03 выбраковано 25 гол. Определить среднее поголовье коров за первый квартал.
Задача 4.3. По данным приложенияВ о средней цене производителей на отдельные виды товаров за последние пять лет определить базисные и цепные показатели ряда динамики, показатели динамики в среднем за период. Расчеты представить в табличной форме. Сделать вывод.
Задача 4.4. Выявить общую тенденцию средней цены производителей на отдельные товары по данным приложенияВ, используя прием аналитического выравнивания.Фактические и выравненные (теоретические) уровни динамического ряда изобразить графически. Сделать вывод.
Задача 4.5. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.6 базисные показатели динамики по имеющимся данным об урожайности озимой пшеницы.
Таблица 4.6 –Вспомогательная таблица для определения урожайности озимой
пшеницы и недостающих базисных показателей динамики
|
Год
| Урожайность озимой пшеницы, ц/га | Базисные показатели динамики | Значение 1% прироста, ц/га | ||
| абсолютный прирост, ц | темп роста, % | темп прироста, % | |||
| 2002 | 55,1 | - | - | - | |
| 2003 | - 2,8 | ||||
| 2004 | 110,3 | ||||
| 2005 | |||||
| 2006 | 17,1 | 0,633 | |||
| 2007 | 121,1 | ||||
| 2008 | 13,5 | ||||
| 2009 | |||||
| 2010 | 20,4 | 0,691 | |||
Задача 4.6. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.7 цепные показатели динамики среднегодового удоя молока от одной коровы в Краснодарском крае.
Таблица 4.7 - Вспомогательная таблица для определения среднегодового
удоя молока и недостающих цепных показателей динамики
|
Год | Среднегодовой удой молока от одной коровы, кг | Цепные показатели динамики | Значение 1% прироста, кг | ||
| абсолютный прирост, кг | темп роста, % | темп прироста, % | |||
| 2004 | 2784 | - | - | - | |
| 2005 | 405 | ||||
| 2006 | 110,5 | ||||
| 2007 | |||||
| 2008 | 152 | 37,65 | |||
| 2009 | 4,2 | ||||
| 2010 | -1,1 | ||||
Задача4.7. До 2007 г. в состав производственного объединения входили 20 организаций. В 2007 г. в него влились еще 4 организации, и оно стало объединять 24 организации. Провести смыкание ряда динамики, используя данные таблицы 4.8. Сделать вывод.
Таблица 4.8 –Динамика объема реализации продукции объединения, млн. руб.
| Показатель | 2005г. | 2006г. | 2007г. | 2008г. | 2009г. | 2010г. |
| По 20 организациям | 491,6 | 501,1 | 510,2 | - | - | - |
| По 24 организациям | - | - | 580,5 | 610,0 | 612,9 | 615,5 |
Вопросы для самоподготовки
1. Ряды динамики, их элементы, правила построения.Виды рядов динамики.
2. Показатели ряда динамики и порядок их расчета.
3. Приемы выявления основной тенденции развития в рядах динамики.
4. Что понимается под интерполяцией и экстраполяцией ряда динамики?
5. Как проводится смыкание рядов динамики?
