МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»
Кафедра общей и технической физики
Общая физика
Квантовая механика
Методические указания к расчётно-графическим работам и варианты заданий для студентов всех специальностей
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2012
УДК 531/534 (075.83)
Общая физика. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. Методические указания к расчётно-графическим работам и варианты заданий для студентов всех специальностей. А.С. Мустафаев, Т.В. Стоянова. Национальный минерально-сырьевой университет «Горный». СПб, 2012. 26 с.
ISBN 5-94211-162-6
Расчётно-графические работы предназначены для студентов всех форм обучения национального минерально-сырьевого горного университета. Выполняются индивидуально в соответствии с вариантом.
Научный редактор
Ó Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»,2012 г. |
ВВЕДЕНИЕ
Вопросы и задачи, содержащиеся в пособие охватывают большую часть стандартного курса квантовой механики, изучаемого в технических вузах и способствуют более глубокому усвоению теоретического материала данного раздела.
РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Выполнение расчётно-графической работы предполагает достаточно большой объём самостоятельной работы студента.
Перед выполнением расчётно-графической работы рекомендуется изучить лекционный курс на тему «элементы квантовой механики» и познакомиться с соответствующим разделом учебника общего курса физики. Если при самостоятельном изучении теоретического материала возникли вопросы, желательно обсудить их на практических занятиях, но если и после этого остались не ясные моменты можно получить индивидуальную консультацию преподавателя, ведущего расчётно-графическую работу или лектора.
При изучении физического явления, прежде всего, необходимо выяснить сущность явления, условия при которых оно возможно, определить с помощью каких физических величин, оно характеризуется. Желательно понять, как оно связано с другими явлениями и возможности его применения на практике. При определении физической величины важно обратить внимание на то, какая это величина – скалярная или векторная, какие свойства она характеризует, выяснить её размерность и формулу, определяющую связь с другими физическими величинами. При прочтении закона обратите внимание на границы его применения, определите, между какими явлениями он выражает связь, уточните формулировку и математическое выражение закона.
Расчётно-графическая работа оформляется на компьютере.
Прежде чем приступить к выполнению практической части расчётно-графической работы необходимо ознакомиться с требованиями, размещенными на сайте Горного университета. На титульном листе указать: название института, наименование дисциплины, название работы, фамилию и инициалы студента и ведущего расчётно-графическое задание преподавателя, год выполнения работы.
Необходимо полностью переписать задачу своего варианта, а заданные физические величины выписать отдельно, при этом все числовые значения должны быть переведены в одну систему единиц. При получении расчётной формулы приведите её полный подробный вывод.
Математическое решение должно сопровождаться пояснениями, а в случае необходимости его можно продемонстрировать рисунком. Задачу рекомендуется решить сначала в общем виде (в буквенных обозначениях), поясняя применяемые при написании формул буквенные обозначения, и только после проверки размерности искомой физической величины, подставить в выведенную формулу числовые значения. Все необходимые числовые значения величин должны быть выражены в системе «СИ». После получения окончательного результата, для удобства построения графических зависимостей можно перейти к вне системным единицам. Например, выразить энергию в электрон-вольтах.
Перед построением графиков необходимо получить аналитическое выражение функциональной зависимости. Выбрать удобный масштаб и указать его на осях координат, а так же физические величины и единицы измерения.
На координатной плоскости обязательно должны быть нанесены экспериментальные точки. Кривая, аппроксимирующая функциональную теоретическую зависимость строится в соответствии с методом наименьших квадратов.
Содержание отчёта (Форматировал)
1.Титульный лист
2. Теоретическая часть:
2.1.Определения всех физических явлений, законов и величин, встречающихся в данной работе.
2.2.Основные расчётные формулы с пояснениями.
3. Расчётная часть:
3.1.Задание с исходными данными своего варианта.
3.2.Расчёт с пояснениями
3.3.Графики.
3.4.Анализ результатов. Заключение.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Уравнение Шредингера - основное уравнение нерелятивистской квантовой механики является уравнением относительно волновой функции.
Для описания распределения вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, вводят волновую функцию (или пси-функцию) - .
Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат её модуля: , где - функция, комплексно сопряжённая с самой волновой функцией. - плотность вероятности, определяющая вероятность пребывания электрона в данной точке пространства:
Вероятность того, что частица находится в элементе объёма dV, равняется произведению квадрата модуля волновой функции и элемента объёма dV:
Волновая функция удовлетворяет условию нормировки вероятностей:
(1)
это означает, что пребывание частицы где-либо в пространстве, есть достоверное событие и его вероятность равна 1.
Основные свойства волновой функции:
1) функция конечна (вероятность не может быть больше 1); однозначна (вероятность не может быть не однозначной величиной); непрерывна (вероятность не может изменяться скачком).
2) производные должны быть непрерывны;
3) Функция должна быть интегрируема, т.е. интеграл:
должен быть конечным.
Уравнение Шредингера - не выводится, а постулируется из оптико-механической аналогии.
Уравнение Шредингера имеет вид:
(2)
где т -масса частицы, =D - оператор Лапласа (), i - мнимая единица, градиент функции U, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. Это уравнение часто называют временным, так как оно содержит производную по времени.
При условии, что поле, в котором движется частица стационарно – U - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором частица движется. В этом случае решение уравнения Шредингера можно разделить на два множителя:
первый - зависит только от координат, второй - зависит только от времени.
(3)
Е – полная энергия частицы в стационарном поле и равная const.
Подставим (3) в (2), тогда:
Сократив, на общий множитель получим:
Полученное уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Если перенести в левую часть и разделить его на , то получим уравнение в виде:
(4)
где Е - полная энергия частицы, U - потенциальная энергия (силовое поле в котором движется частица, не зависящее от времени).
Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при данном U, называются собственными функциями.
Значения Е, при которых существуют решения уравнения Шредингера, называются собственными значениями.
Совокупность собственных значений называется спектром величины.
Квантование энергии
В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:
Найдём собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для более простого случая - для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.
Пусть частица движется вдоль оси х, а её движение ограничено непроницаемыми стенками с координатами 0 и .
Тогда потенциальная энергия U равна нулю при и обращается в бесконечность при х<0 и x> .
Так как волновая функция зависит только от координаты х, то стационарное уравнение Шредингера можно взять в виде:
Вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю и значение волновой функции за пределами ямы равно нулю:
(5)
В области уравнение имеет вид:
так как U=0. Пусть:
(6),
тогда это уравнение можно записать в виде:
Это уравнение известно из теории колебаний и его решение имеет вид:
(7)
Условия (5) выполняются при соответствующих k и . Из условия получаем:
Следовательно, =0. Из условия следует, что:
(8).
где n=1,2,3
Если n=0, то получается, что частица нигде не находится, поэтому этого не может быть. Исключив k из уравнений (6) и (8) найдём собственные значения энергии частицы:
,
тогда энергия частицы в квантовой яме:
(n=1,2,3,….,) где - ширина квантовой ямы, а n - квантовое число, определяющее квантовые уровни частицы.
Разность энергий двух соседних уровней равна:
.
При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики соответствуют классическим результатам.
Подставив в (7) k полученное из (8), найдём собственные значения функции задачи:
Для нахождения воспользуемся условием нормировки:
Тогда получим: , и собственная функция имеет вид:
(n=1,2,3,…) (9)