Рассм. ДУ
Общее решение такого уравнения:
, где
ФСР - уже рассматривали
Укажем метод нахождения частного решения неоднородного уравнения
, если f(x) имеет специальный вид.
Рассмотрим следующие случаи:
I. , где - многочлен степени n.
а) - не корень характеристического уравнения
, где - многочлен степени n с неопределенными буквенными коэффициентами. Подставим в ДУ и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях найдём все буквы.
б) - корень характеристического уравнения кратности 1
в) - корень характеристического уравнения кратности 2
II.. , где M,Nчисла
a) не корень характеристического уравнения неопределенные коэффициенты.Подставив в ДУ и приравняв коэффициенты при
находим А и В
б) корень характеристического уравнения кратности 1
Замечание: Если в правой части есть только или
в частном решении должны быть и sin и cos, т.е тригонометрия должна быть полной.
III. .
Где , -многочлены степеней m и n
a) не корень характеристического уравнения многочлены степени к с неопределенными коэффициентами
|
|
б) корень характеристического уравнения
Метод вариации
Рассмотрим ДУ:
Где правая часть f(x) произвольного вида (необязательно специального).
Общее решение соответствующего однородного уравнения:
, где и - произвольные const, - ФСР.
Будем варьировать и и считать, что и зависит от х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения (исходного) в виде:
(*)
объединим и в систему
- эта система для нахождения и имеет единственное решение, т.к определитель системы ,
для системы 2-х ЛНЗ надежнее решать систему по формулам Крамера
, где
, где
решая систему получим и , проинтегрируем полученные функции по переменной х.
- проинтегрируем по х
, где А и В – константы интегрирования
Таким образом общее решение неоднородного уравнения:
Пример:
1)