Основное уравнение гидростатики

1. Абсолютный покой жидкости. Рассмотрим равновесие жидкости в состоянии абсолютного покоя, т.е. когда на жидкость действует только сила тяжести. Давление на свободную поверхность жидкости равно атмосферному давлению . Определим давление в произвольно выбранной точке М, расположенной на глубине (рис. 1.3). Для этогорассмотрим равновесие жидкого тела, ограниченного снизу площадкой . Давление на основание выделенного объема будет внешним по отношению к жидкому телу и будет направлено вертикально вверх. Запишем уравнение равновесия в проекции на вертикальную ось тела:

, т.е. . (1.16)

Получили основное уравнение гидростатики.

Давление во всех точках свободной поверхности одинаково и равно ,следовательно, давление во всех точках жидкости на глубине h также одинаково согласно основному уравнению гидростатики. Поверхность, давление на которой постоянно, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхности уровня – горизонтальные плоскости. Выберем горизонтальную отсчетную плоскость, проходящую на расстоянии от свободной поверхности, тогда уравнение (1.16) приобретает вид

или . (1.17)

Все члены уравнения (1.17) имеют линейную размерность и носят название: – геометрическая высота, – пьезометрическая высота. Величина называется гидростатическим напором и согласно (1.17) при абсолютном покое жидкости постоянна.

2. Относительный покой жидкости. Состояние равновесия жидкости при наличии переносного движения называется относительным покоем жидкости. Относительный покой сводится к двум возможным видам равновесия жидкости.

Равновесие жидкости при равномерно ускоренном прямолинейном
движении сосуда

Примером может служить равновесие жидкости в цистерне, движущейся с некоторым ускорением (рис. 1.4, а). В этом случае на жидкость будут действовать сила тяжести и сила инерции равномерно укоренного движения цистерны:

где – равнодействующая единичная массовая сила, – единичная массовая сила переносного движения.

а б

Рис. 1.4. К выводу основного уравнения гидростатики для относительного покоя:

а – равномерно ускоренное прямолинейное движение сосуда; б – равномерное
вращение сосуда

При движении цистерны начальное положение свободной поверхности жидкости изменится. Так как равнодействующий вектор массовых сил должен быть направлен по внутренней нормали к свободной поверхности жидкости, то новое положение свободной поверхности жидкости будет перпендикулярно вектору . Наклон свободной поверхности жидкости к горизонтальной плоскости определяется соотношением ускорений : .

Найдем условия равновесия жидкого объема, имеющего в основании малую площадку в точке М, расположенной внутри жидкости на глубине под уровнем свободной поверхности:

, или .

Здесь (h – погружение точки М под уровень свободной поверхности жидкости, измеряемое по вертикали), так как , . Приходим к уравнению равновесия жидкости

совпадающему по виду с записью основного закона гидростатики (1.16).

Таким образом, давление в любой точке жидкости будет зависеть только от положения этой точки относительно уровня свободной поверхности жидкости. Поверхности равного давления будут параллельны свободной поверхности жидкости и иметь такой же уклон .

Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде

Свободная поверхность жидкости, залитой в цилиндрический сосуд и находящейся под действием сил тяжести, примет форму горизонтальной плоскости на некотором уровне относительно дна сосуда. После того как мы приведем сосуд во вращение вокруг его вертикальной оси с некоторой постоянной угловой скоростью const, форма свободной поверхности жидкости изменится: в центре сосуда уровень понизится, а по краям сосуда повысится, вследствие действия силы инерции, создающей ускорение переносного движения , направленное в сторону стенок сосуда (рис. 1.4, б).

Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью (в частности, точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет

Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда. Наклоняя ось его вращения под углом к горизонту, результат получим тот же, что подтверждает универсальность основного уравнения гидростатики.

Пример 1.3. Найти форму поверхности жидкости во вращающемся сосуде (рис. 1.4, б).

Решение. В каждой точке поверхности вектор углового ускорения будет направлен под некоторым углом по отношению к касательной плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности:

или после интегрирования

где – координата самой низкой точки, расположенной в центре на оси вращения. Итак, получили, что свободная поверхность жидкости, находящейся в равномерно вращающемся вокруг его вертикальной оси сосуде, будет иметь вид параболоида вращения.

Пример 1.4. Конструкция подводного аппарата выдерживает избыточное давление до 10 МПа. Определить максимальную рабочую глубину погружения аппарата.

Решение. Из основного уравнения гидростатики имеем

т. е. 10×10⁶/(998×9.81) = 1021 м.

Дифференциальные уравнения
равновесия жидкости

Рассмотрим условия равновесия объема жидкости малых размеров в виде параллелепипеда (рис. 1.5).

Пусть на объем действует массовая сила На левую и правую грани параллелепипеда действуют силы давления и соответственно. На переднюю и заднюю грани: и , на нижнюю и верхнюю грани: и . Уравнения равновесия выделенного объема жидкости имеют вид: