Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями (рис.4 и 5)
Рис.4. Колебания груза на пружине. Трения нет.
Рис.5 Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:
· Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;
· Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.
Рассмотрим сначала уравнение свободных колебаний
(1)
Напишем соответствующее характеристическое уравнение
и найдем его корни:
1) Пусть Тогда корни – действительные отрицательные числа. Общее решение выражается через показательные функции:
(2)
Из этой формулы следует, что отклонение при любых начальных условиях асимптотически стремится к нулю, если В данном случае колебаний не будет, так как силы сопротивления велики по сравнению с коэффициентом жесткости рессоры
2) Пусть тогда корни равны между собой (и равны отрицательному числу ). Поэтому общее решение будет
(3)
Здесь отклонение также стремится к нулю при , однако не так быстро, как в предыдущем случае (благодаря наличию сомножителя ).
3) Пусть то есть отсутствует сила сопротивления. Уравнение (1) примет вид
(4)
аракткристическое уравнение имеет вид а его корни равны Общее решение
(5)
В последней формуле произвольные постоянные заменим другими. Именно, введем постоянные связанные с соотношениями
, .
через определяются так:
, .
Подставляя значения в формулу (5), будем иметь
Или
(6)
Колебания в этом случае называются гармоническими. Интегральными кривыми являются синусоиды. Промежуток времени , за который аргумент синуса изменяется на , называется периодом колебаний; в данном случае Частотой колебания называется число колебаний за время ; в данном случае частота равна ; - величина наибольшего отклонения от положения равновесия – называется амплитудой колебания; называется начальной фазой. График функции (6) изображен на рис.6
Рис.6
В электротехнических и других дисциплинах широко используют комплексное и векторное изображения гармонических колебаний.