Основы геометрической оптики

Кафедра Физики

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине

Физика

 

Часть I I I

Оптика

 

Ростов – на -Дону 2010г.

 

 

Часть I I I Оптика

(36 часов)

 

Семестр

 

Лекция 1 (2 часа)

 

Основы геометрической оптики.

(Развитие учения о свете. Основные законы геометрической оптики. Принцип Ферма. Световой поток. Центрированная оптическая система. Сложение оптических систем. Преломление света на сферической поверхности. Формула тонкой линзы. Погрешности оптических систем. Оптические приборы. Геометрическая и оптическая длинапути. Полноеотражение. Отражение света от плоских и сферических поверхностей. Преломление света на плоских поверхностях. Призмы.)

 

Предварительные сведения

Оптика — раздел физики, который изучает природу света, световые явления и взаимодействие света с ве­ществом.

Оптика изучает волновые (например, дифракция, интерференция, поляризация) и квантовые (например, фотоэффект, люминесценция) свойства света, зако­номерности его излучения, а также распростране­ние, рассеивание и поглощение света в различных средах.

Оптическое излучение представляет собой элек­тромагнитные волны, и поэтому оптика является ча­стью общего учения об электромагнитном поле.

В зависимости от рассматриваемых явлений оптику делят на:

• геометрическую (лучевую),                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   • волновую (физическую),

• квантовую (корпускулярную).

         В конце XVII в. Ньютон выдвинул теорию истечения световых ча­стиц (корпускул), которые летят прямолинейно и подчиняются за­конам механики. Согласно этой теории отражение аналогично отра­жению абсолютно упругих шариков при ударе о плоскость, а преломление света объясняется притяжением световых частиц преломляющей средой, из–за чего изменяются траектория их движения и скорость. Рас­четы приводили к ошибочному выводу, что скорость световых частиц в более плот­ных средах больше, чем в воздухе, но измерения скорости све­та, выполненные в 1850 г. Фуко, показали, что скорость света в более плотной среде меньше, чем в воздухе.

Современник Ньютона Гюйгенс выступил с другой теорией света — волновой. Согласно этой теории свет распространяется вслед­ствие волнового движения особой среды – эфира. Эфир заполняет все мировое пространство, пронизывает ве­щество и обладает такими свой­ствами как упругость и плотность. Таким образом, вол­новая теория рассматривала свет как волны в эфире, подобные звуковым волнам в воздухе или волнам на поверхности воды.

Для анализа распространения света Гюйгенс пред­ложил наглядный метод для анализа распространения света, названный впос­ледствии принципом Гюйгенса: каждая точка среды, до кото­рой доходит световое возбуждение, является в свою оче­редь источником вторичных эле­ментарных волн. Поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, представляет собою огибаю­щую всех возникших элементарных полусферических волн, т.е. новое положение фронта волны (рис. 1–1).

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Пусть в момент времени t фронт волны, распространяющийся в однородной изотропной среде, занимает положение S₁. Каждую точку этого фронта волны в интервале времени от t до Dt можно рассматри­вать как источник вторичных волн, которые будут представлять собой сферы радиуса uDt. В момент времени t + Dt поверхностью фронта вол­ны S₂ будет огибающая этих вто­ричных волн.

Механическое представление о природе распространения света является общей чертой волновой и корпускулярной теорий. В процессе их раз­вития был разработан строгий математический метод анализа оптиче­ских явлений, который сохранил свое значение и до настоящего вре­мени.

Недостатком волновой теории света Гюйгенса являлось то, что  она требовала существования эфира — гипотетической среды, в которой рас­пространяется свет (механические колебания). Дальнейшее развитие оптики (в частности, изучение явления поляризации) показало, что световые волны в отличие от звуковых являются попереч­ными. Поперечные волны упругости, т.е. волны механической природы, могут распространяться лишь в твердых те­лах, поэтому попытка наделить эфир свойствами твердого тела не получила подтверждения, так как эфир не оказывает заметного воздействия на движу­щиеся в нем тела.

Наука о свете накапливала экспериментальные факты, которые свидетельствовали о взаимосвязи между световыми, электри­ческими и маг­нитными явлениями и Мак­свелл в 70-х годах прошлого столетия создает электромагнитную теорию све­та, согласно которой

,                                 (1.1)

где с — скорость света в вакууме,u — скорости света в среде с      ди­электрической проницаемостью e  и магнитной проницаемостью m. Это со­отношение связывает оптические, электри­ческие и магнитные посто­янные вещества. Согласно Максвеллу, e и m  — величины, которые не за­висят от длины волны света, поэтому электромагнитная теория не могла объяс­нить явление дисперсии (зависимость по­казателя преломления от длины волны). Эта трудность была преодолена в конце XIX в. Лоренцем, предложившим элек­тронную теорию, согласно которой диэлек­триче­ская проницаемость e зависит от длины волны падающего света. Теория Лоренца ввела представление об электро­нах, колеблющихся внутри атома, и по­зволила объяснить явления испускания и поглощения света веществом.

Теория Максвелла и теория Лоренца были несколько противоречивы и при их применении встре­чался ряд затруднений. Обе теории опирались на гипотезу об эфире, только «упругий эфир» был заменен «эфиром электромагнитным» (теория Максвелла) или «неподвижным эфиром» (теория Ло­ренца). Теория Максвелла не смогла объяснить процессов испускания и погло­щения света, фотоэлектрического эффек­та, комптонов­ского рассеяния и т.д. Тео­рия Лоренца, в свою очередь, не смогла объ­яснить вопрос о распределении энер­гии по длинам волн при тепло­вом излуче­нии черного тела.

Перечисленные затруднения и проти­воречия были преодолены благодаря сме­лой гипотезе немецкого физика М. Планка (1900), согласно кото­рой излучение и поглощение света про­исходит не непрерывно, а дискретно, т.е. определенными порциями (квантами), энергия которых пропорциональна частоте n:

,                                       (1.2)

где h— постоянная Планка.

Теория Планка уже не нуждалась в по­нятии об эфире и уже в 1905 г. Эйнштейн создает квантовую теорию света, согласно которой не только излучение све­та, но и его распространение происходит в виде потока световых квантов — фото­нов, энергия которых определяется соот­ношением (1.2), а масса

.                    (1.3)

Квантовые представления о свете согласуются с законами излучения и поглощения света, взаимодей­ствия света с веществом, а явле­ния интер­ференции, дифракции и поляризации легко объясняются на основе волновых представлений. Таким образом, свет представляет собой единство противоположных видов движения — корпускулярного (квантово­го) и волнового (электромагнитного), т.е. мы приходим к со­временным представлениям о двойственной корпускулярно – волновой природе све­та. Выражения (1.2) и (1.3) связыва­ют корпускуляр­ные характеристики излу­чения (массу и энергию) кванта – с волновыми (частотой колебаний и длиной волны). Таким образом, свет представляет единство дискретности и непрерыв­ности.

 

Лекция 2 (2 часа)

 

Волновое уравнение.

(Электромагнитная волна. Волновое уравнение. Общее решение волнового уравнения. Плоская электромагнитная волна.)

Дифференциальное уравнение плоской электромагнитной волны

Чтобы не прибегать к сложным математическим выкладкам, рассмотрим электромагнитное поле в диэлектрической среде. Пусть это поле имеет следующие компоненты:

Т.е. электрическое поле имеет компоненты ‑ , магнитное поле имеет компоненты ‑ .

Т.к. среда ‑ диэлектрик, то токов проводимости нет ‑ . Кроме того, будем считать, что свойства среды не меняются с течением времени, т.е. .

В этом случае первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме будет иметь вид:

Операция ротора раскрывается как:

У электрического поля есть компонента только по оси . Поэтому уравнения Максвелла примет вид:

Отсюда вытекает ‑ . Магнитное поле однородно вдоль оси .

Таким образом, от этого уравнения Максвелла у нас осталось следующее уравнение:

    

Далее, рассмотрим второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

Аналогичным образом раскроем операцию ротора:

У магнитного поля есть только одна компонента по оси , поэтому:

Здесь мы тоже полагаем, что магнитные свойства среды не меняются с течением времени ‑ . Отсюда вытекает, что электрическое поле не меняется вдоль оси   ‑ . Т.е. свойства электромагнитного поля не меняются в плоскости , поэтому такое поле называется плоским.

Таким образом, от второго уравнения Максвелла у нас осталось следующее уравнение:

      

Следовательно, для нахождения двух неизвестных компонент электромагнитного поля мы получили систему двух уравнений:

       (А)

 

Уравнение плоской электромагнитной волны

Разрешим полученную систему, например, относительно компоненты электрического поля . Для этого первое уравнение системы (А) продифференцируем по координате , а второе ‑ по времени :

Отсюда, исключая , получим:

    (В)

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения компоненты вектора напряженности электрического поля.

Аналогичным же образом можно получить и второе уравнение для нахождения компоненты вектора напряженности магнитного поля:

(С)

Решение уравнений (В) и (C) имеет вид:

    (D)

Т.е. мы видим, что решение представляет собой плоскую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси .

 

Характеристики электромагнитной волны

В уравнении электромагнитной волны , волновое число в общем случае определяется как . Найдем выражение для волнового числа   через параметры среды. Для этого найдем вторую производную от   по пространственной координате :

 

Далее, вторую производную от   по времени :

и подставим в исходное дифференциальное уравнение (B).

Упростим полученное выражение:

Получим теперь выражение для скорости распространения электромагнитной волны:

Или, окончательно:

                                                (5.9)

Если диэлектрическая среда вакуум, то тогда   и скорость света в вакууме будет равна:

    (5.10)

Найдем теперь отношение . Это отношение имеет размерность , следовательно, это отношение будет характеризовать сопротивление диэлектрической среды прохождению электромагнитных волн, т.е. волновое сопротивление. Для этого используем найденную первую производную от   по координате :

Найдем первую производную от напряженности магнитного поля по времени:

и подставим в первое уравнение системы (A):

Положим, что , тогда ‑

Подставив сюда выражение для волнового числа , получим:

Отсюда

         (Е)

Для вакуума ‑ , поэтому волновое сопротивление вакуума будет равно:

Лекция 3 (2 часа)

 

Интерференция света.

(Интерференция световых волн. Когерентность. Опыт Юнга. Оптическая разность хода, разность фаз. Условия интерференционного максимума и минимума. Ширина интерференционной полосы. Линии равной толщины и равного наклона. Интерференция на клине. Кольца Ньютона. Способы наблюдения интерференции. Практическое применение интерференционных явлений. Просветленная оптика.)

Ко­герентность и монохроматичность световых волн

Интерференция волн — это явление усиления или ослабления колебаний, которое происходит в результате сложения двух или     не­скольких волн с одинаковыми периодами, распространяющихся в про­странстве, и зависит от соотношения между фазами складывающихся колебаний.

Необходимым условием интерференции является их когерент­ность, т. е. равенство их частот и постоянная во времени разность фаз. Этому условию удовлетворяют только монохроматические свето­вые волны, т.е. волны с одинаковой частотой. При соблюдении данных усло­вий можно наблюдать интер­ференцию не только световых волн, но и звуковых, радиоволн и т. д.

Так как естественные источники не дают монохроматического света, то волны, излучаемые лю­быми независимыми источниками света (две электрические лампочки), всегда некогерентны. В двух самостоятельных источ­никах света атомы излу­чают независимо друг от друга. Процесс излу­чения длится очень короткое время  (t» 10^–8 с). За это время возбужден­ный атом возвращается в нор­мальное состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать све­товые волны, но уже с новой начальной фазой. Разность фаз между из­лучением независимых атомов изменяется при каждом новом акте испускания, поэтому волны, излучаемые атомами любого источника света, некогерентны. Таким образом, волны, испускаемые атомами, лишь в течение интервала времени» 10^–8 с имеют примерно постоянные ам­пли­туду и фазу колебаний, тогда как за боль­ший промежуток времени и амплитуда и фаза изменяются.

Основная трудность для проявления интер­ференции света состоит в получении когерентных световых волн, но, как было показано, для этого непригодны излу­чения не только двух различных макроскопических источников света, но и различных атомов одного и того же источ­ника. Поэтому надо каким-либо способом разделить свет, излучаемый каждым атомом источника, на два потока волн, которые в силу общности происхождения будут когерент­ными. Затем надо заставить встретиться эти потоки после того, как они пройдут различные пути l₁ и l₂. Таким путем мы заставим встретить­ся волны, вышедшие из одного и то­го же атома, но в разное время и с таким малым запозданием одной относительно дру­гой, что когерентность будет иметь место (так как обе группы волн принадлежат к одному акту испускания атома).

2.2. Некоторые методы наблюдения интерференции света                                

2.2.1. Метод Юнга. Источником света слу­жит ярко освещенная щель S, от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S ₁ и S ₂, па­раллельные щели S. Таким образом, щели S ₁ и S ₂, играют роль ко­герентных источни­ков. Интерференционная картина (об­ласть R ₂ Q ₁) наблюдается на экране (Э), расположенном на некотором расстоянии параллельно S ₁ и S ₂ (рис. 2–1а).

 

 

Проведем расчет интерференционной картины (рис. 2–1, б). Пусть разделение на две когерентные волны происходит в некоторой точке О. До точки М, где наблюдается интерференционная картина, одна волна прошла путь l₁ в среде с показателем преломления n₁, вторая волна – путь l₂ в среде с показателем преломления n₂. Если в начальный момент времени фаза колебаний равна wt, то в точке М первая волна возбудит колеба­ние , а вторая — колебание , где u₁=с/n₁ и u₂=с/n₂ — соответственно фазо­вая скорость первой и второй волны. Под х будем понимать на­пряженность электрического (световой вектор) или маг­нитного полей волны; векторы и ко­леблются во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Разность фаз колебаний d=j₂–j₁, возбуждаемых волнами в точке М, равна

.       (2.1)

В соотношении (2.1) мы учли, что ,

где l₀ –длина волны в вакууме.

Произ­ведение геометрической длины пути световой во­лны l в данной среде на показатель пре­ломления n этой среды называется оптиче­ской длиной пути, a  — раз­ность оптических длин  проходимых во­лнами путей — называется оптической разностью хода.

Если оптическая разность хода равна четному числу полуволн в вакууме (целому числу волн)

,                (2.2)

то  и колебания, возбуждаемые в точке М  обеими волнами, про­исходят в одинаковой фазе и будет наблюдаться интерферен­ционный максимум.

Если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн в вакууме

,                   (2.3)

то  и колебания, возбуждаемые в точке М  обеими волнами, бу­дут про­исходить в противофазе и будет наблюдаться интерферен­ционный минимум.

Пусть среда, в которой распространяется свет, однородная, а интерференция наблюдается в произвольной точке Вэкрана, параллельного щелям и расположенного от них на расстоя­нии L, причем . Показатель пре­лом-ления среды n = 1 (Рис. 2-2).

Интенсивность в точке Вопределяется оптической разностью хода . Из рисунка следует, что ,

, откуда .

Согласно условию , поэтому  и .

       Подставив это значение в условия максимума и минимума (2.2 и 2.3), получим координаты - где интенсивность света максимальна и  - где интенсивность света минимальна:

,                 (2-4)

.                     (2-5)

Ширина интерференционной полосы — расстояние между двумя сосед­ними максимумами (или минимумами)

.

    Согласно (2-4) и (2-5), интерференционная картина представляет собой чередование светлых и темных полос, параллельных друг другу. Главный максимум, соответствующий   m= 0, проходит через точку М. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются соответственно максимумы (минимумы) первого (m = 1), второго (m = 2) порядков и т.д. Описанная картина справедлива только при освещении монохроматическим светом. В случае белого света интерференционная картина будет иметь вид радужных полос.

2.2.2. Зеркала Френеля. Свет от источника S (рис. 2–3) падает расходящимся пучком на два плоских зеркала МО и NO, распо­ложенных относительно друг друга под углом, лишь немного отличающимся от 180° (угол a мал).

Применяя правила по­строения изображения в плоских зерка­лах, можно показать, что и источник, и его изображения S ₁ и S ₂ (угловое расстояние между которыми равно 2a) лежат на од­ной и той же окружности радиуса r с цент­ром в O (точка соприкосновения зеркал), т.е. ОS = ОS ₁ = ОS ₂ = r.

Световые пучки, отразившиеся от обо­их зеркал, можно считать выходя­щими из источников S ₁ и S ₂, которые являются мнимыми изображениями S в зеркалах. Источники S ₁ и S ₂ коге­рентны, и исходящие из них световые пуч­ки, встречаясь друг с другом, интерфери­руют в области взаимного перекрытия. Интерфе­ренционная картина наблюдается на экра­не (E) в области PQ. Для исключения попадания на экран пря­мых лучей света от источника S используется заслонка (E ₁).

P

2.2.3. Бипризма Френеля. Бипризма состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S (рис. 2–4) преломля­ется в обеих призмах, в результате чего за биприз­мой распространяются световые лу­чи, как бы исходящие из мнимых ис­точников S ₁ и S ₂, являющихся когерентными.

QP

На поверх­ности экрана (в области PQ) про­исходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.

2.2.4. Интерференция света в тонких пленках. Пусть на плоскопараллельную про­зрачную пленку с показателем преломле­ния n и толщиной h под углом a падает плоская монохроматическая волна (для простоты рас­смотрим только один луч из падающего пучка – 1). На поверхности пленки в точке A луч 1 де­лится на два: частично отразится от верх­ней поверхности пленки, а частично пре­ломится (рис. 2–4). Пленка находится в воздухе (абсолютный показа­тель преломления n₀=1).

Преломленный луч в точ­ке B частично преломится, а частично отразится и пойдет к точке С. Здесь он опять частично отразится и преломится, выходя в воздух под углом a (луч 2^*). Если оптическая разность хода этих лучей будет мала по сравнению с длиной когерентности па­дающей волны, то эти лучи будут когерент­ными. Если на их пути поставить собирающую линзу то они сойдутся в одной из точек фокальной плоскости линзы и дадут интерференционную кар­тину, которая будет определяться оптиче­ской разностью хода между интерферирующи­ми лучами. Интерференци­онные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.

Интерференция от тонких пленок может наблю­даться не только в отраженном, но и в проходящем свете. Рассмотрим интерференцию в отраженном свете.

Оптическая разность хода, возникаю­щая между лу­чами 1^* и 2^* равна

,

где член ±l₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. Ес­ли n > n₀, то потеря полуволны произойдет в точке Aи вышеупомянутый член будет иметь знак минус, если же n<n₀, то потеря полуволны произойдет в точке Си l₀/2будет иметь знак плюс.

Из рис. 2-5 следует

.

Учитывая в точке С закон преломления , получим

.

С учетом потери полуволны для оптиче­ской разности хода получим

.                     (2-6)

Учитывая, что n > n₀, получаем .

Интерференционный максимум наблюдается, если (см. (2-2))

.  (2-7)

Интерференционный минимум наблюдается, если (см. (2-3))

.  (2-8)

2.2.5. Интерференция света в оптическом клине. Рассмотрим пленку переменной толщины, например клинообразную. В отраженном свете поверхность такой пленки уже не будет равномерно освещен­ной, так как разность хода лучей, интерферирующих в различных (по толщине) местах пленки, будет неодинаковой. Разность хода сохраняется неизменной толь­ко вдоль линий, параллельных ребру клина, и убывает в направлении от осно­вания к ребру (рис. 2–6,а).

В результате интерференции наблюдаются светлые и темные полосы параллель­ные ребру клина (рис. 2–6,б). Чем больше угол клина a, тем быстрее изменяется разность хода лучей вдоль клина и тем гуще будут расположены интерференционные полосы. При ис­пользовании белого света интерференционные полосы расширяются, приобретая радужную окраску. Каж­дая из полос возникает за счет отражения от мест, имеющих одинаковую толщину, поэтому они называются полоса­ми равной толщины.

В общем слу­чае толщина пленки и её показатель преломления может изменяться произволь­но и при освещении белым светом возникает весьма причудли­вая по форме и расцветке интерференционная картина. Такую карти­ну дают мыльные пленки, нефтяные пятна на поверхности воды, крылья мелких насекомых, жировые налеты на стекле и другие тонкие пленки толщиной по­рядка 10^–6 м. В более толстых пленках цветные интерфе­ренционные полосы ока­зываются настолько сближенными, что частично перекрывают друг друга и интерференционная картина будет неразли­чимой.

2.2.6. Кольца Ньютона. Кольца Ньютона, явля­ются примером полос равной толщины, наблюдаемые при контакте плоскопа­раллельной пластинки и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзы с большим радиу­сом кривизны (рис.2–7,а).

Пучок света падает нормально на линзу и час­тично отражается от верхней (точка Е) и нижней (точка F) поверхно­стей воздушного зазора меж­ду линзой и пластинкой. При наложении от­ра­женных лучей возникают полосы равной толщи­ны, при нормальном падении света имеющие вид окружностей (рис. 2–6,б) или эллипсов при на­клонном падении света.

 При освещении белом светом наблюдаем интерференционную кар­тину радужной окраски, а при ос­вещении монохроматическим светом наблюдаются светлые и темные полосы.

Рассмотрим интерференцию лучей в отраженном свете. Оптическая разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора на рас­стоянии r= DE  от точки O, равна

,

где показатель преломления воздуха принят равным единице, а член l₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от оптически более плотной среды (точка F). Из подобия прямоугольных треугольников EOD и EDM следует, что

где   и ,

так как . Таким об­разом,

и

    Из этого соотношения и условий (2.2 и 2.3) следует, что радиусы m -х светлого (r_св)   и темного (r_т)колец Ньютона в отраженном свете равны:

        (2-9)

Очевидно, что в проходящем свете

2.3. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА

2.3.1. Как видно из рассмотренных в предыдущем параграфе приме­ров, интерференционные явления обусловлены волновой приро­дой света и их количественные закономерности зависят от длины волны l. Измеряя расстояния между полосами в опыте с биприз­мой Френеля или радиусы колец Ньютона, можно определить длины волн световых лучей. Такова первая группа применений интерференционных явлений, имеющая принципиальное значе­ние, — доказательство волновой природы света и измерение длин волн.

2.3.2. Правильная форма колец Ньютона (рис. 2–6,б) искажается при всяких, даже незначительных, дефектах в обработке выпуклой поверхности линзы и верхней поверхности пластины. Поэтому наблюдение формы колец Ньютона позволяет осуществлять быстрый и весьма точный контроль качества шлифовки плоских пластин и линз, а также бли­зость поверхностей линз к сферической форме.

2.3.3. Возможность ослабления отраженного света в тонких пленках вследствие интер­ференции широко используется в опти­ческих приборах: фотоаппаратах, биноклях, перископах и др. Дело в том, что часть световой энергии отражается от поверхностей линз; это заметно снижает яркость и контрастность изображения рассматриваемых (или фотографируемых) объектов и создает блики. Для устранения этого на передние поверхности имеющихся в них линз и призм наносят тонкие прозрачные пленки, абсолютный показатель преломления которых n_п меньше абсолютного показателя преломления n для ма­териала линзы или призмы. Толщина пленки подбирается таким об­разом, чтобы осуществлялся интерференционный минимум отражения для света с длиной волны l» 5,5×10^-7м (зеленый свет), которая соответствует наибольшей чувствительности человеческого глаза. Такая оптика получила название просветленной оптики. В отражен­ном свете просветленные линзы и призмы кажутся окрашенными в фиолетовый цвет, так как они заметно отражают только красный и сине-фиолетовый свет. Обычно на поверхность линз наносят пленку из кремнезема или из фторис­тых солей. Кроме того, просветляющую пленку можно создать непосредствен­но на поверхности линзы путем обработки этой поверхности растворами кис­лот (метод И. В. Гребенщикова).

2.3.4. Явление интерференции также приме­няется в очень точных измерительных при­борах — интерферометрах. Все интерферометры основаны на одинаковом принципе и различаются лишь конструкционно.

На рис. 2-8 приведена схема интерферометра Майкельсона. Монохроматический свет от источника S падает под углом 45° на плоскопараллельную пластинку P₁. Сторо­на пластинки, удаленная от S, посеребренная и полупрозрачная, разделяет луч на две части: луч 1 (отражается от посе­ребренного слоя) и луч 2 (проходит через него). Луч 1 отражается от зеркала M₁ и возвращаясь вновь проходит че­рез пластинку P₁ (луч 1'). Луч 2 идет к зеркалу M₂, отражается от него, воз­вращается обратно и отражается от пластинки P₁ (луч 2'). Так как первый из лучей проходит пластинку P₁ дважды, то для компенсации возникающей разности хода на пути второго луча ставится пластинка P₂ (точно такая же, как и P₁, только не покрытая слоем серебра).

Так как лучи 1' и 2' когерентны, то наблюдается интерференция, вид которой зависит от оптической разности хода луча 1 от точки О до зерка­ла M₁ и луча 2 от точки О до зеркала M₂. При перемещении одного из зеркал на расстояние l/4 разность хода обоих лучей увеличится на l/2 и освещенность зрительного поля изменится. Даже по незначительному смещению картины интерференции можно судить о малом перемещении одного из зеркал и использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10^{-7 м) из­мерения длин (измерения длины тел, длины световой волны, изменения длины тела при изменении температуры (интер­ференционный дилатометр)).}

Этот интерферометр сыграл фундаментальную роль в разви­тии науки и техники. С его помощью впервые была измерена длина световой волны, проведено изучение тонкой структуры спектральных линий, выполнено первое прямое сравнение эта­лонного метра с определенной длиной волны света. С помощью этого интерферометра был осуществлен знаменитый опыт Майкельсона-Морли, доказавший независимость скорости света от движения Земли.

2.3.5. Рассмотрим теперь прибор, существенная часть которого состо­ит из двух идентичных плоскопараллельных пластинок толщины h к с показателем преломления n — интерферометр Жамена (рис. 2.9).

При падении пучка света на первую пластинку (на рисунке показан только один луч) часть лучей отра­зится от передней грани пластинки, а часть, преломившись, отразится от задней грани; таким образом, из пластинки выйдут два выходят два коге­рентных параллельных луча.

Пройдя сквозь совершенно одинаковые закрытые стеклянные кюветы К₁ и К₂ (длина кювет l), каждый из лучей, попадая на вторую пластинку, опять раздвоится, и из второй пластин­ки выйдут уже четыре пучка. Лучи 1 и 4 не попадают в оправу объектива, а лучи 2 и 3 собираются линзой и интерферируют.

Полосы интерференции рассматриваются с помощью окуляра, который на рисунке не показан. Если одну из кювет заполнить газом, имеющим известный абсолютный показа­тель преломления n₁, а вторую — газом, показатель преломления n₂ которого измеряется, то между интерферирующими лучами возник­нет оптическая разность хода, равная . Соответственно произойдет смещение интерференционной картины на  полос, причем

Например, при l=5 см и l=0,5 мкм смещению полос на 0,1 их ширины, которое еще можно зарегистрировать, соответствует очень малое изменение разности (n₂— n₁):

Таким образом, интерферометр Жамена можно использовать для определения ничтожного изменения показателя преломления, напри­мер при изменении температуры газа или прибавлении посторонних примесей. В соответствии с этим его нередко называют интерферен­ционным рефрактометром. Как показано выше, он крайне чувствите­лен к незначительным изменениям показателя преломления. Однако определение абсолютного значения самого показателя преломления при помощи этого прибора довольно затруднительно. Обычно его применяют таким образом, что сравнивают интересующий нас газ с каким-либо хорошо изученным газом, например, воздухом.

Лекция 4 (2 часа)

 

Дифракция света.  

(Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция света на круглом отверстии. Границы применимости геометрической оптики. Зонная и фазовая пластинки Френеля. Дифракция Фраунгофера от щели. Дифракционная решетка и ее применение. Пространственная дифракционная решетка. Формула Вульфа-Брэггов. Угловая и линейная дисперсия. Разрешающая способность. Критерий Рэлея. Голография)

 Принцип Гюйгенса — Френеля

Дифракцией называется огибание волна­ми препятствий, встречающихся на их пу­ти, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи любых неоднородностей (препятствий) от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через не­большие отверстия в экранах и т. д.

Различают два вида дифракции:

1. Дифракция в непараллельных лучах (дифракция Френеля), когда на препятствие падает сферическая (или плоская) волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся за ним на конечном расстоянии от препятствия.

2. Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера), когда на препятствие падает плоская волна, а дифракционное изображение источника света наблюдается на экране, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего за препятствие света.

Явление дифракции объясняется с по­мощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до кото­рой доходит волна, служит центром вто­ричных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Пусть плоская волна нормально пада­ет на отверстие в непрозрачном экране (рис. 3-1). Согласно Гюйгенсу, каждая точка во­лнового фронта служит источником вто­ричных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огиба­ющую вторичных волн видим, что волна огибает края отверстия, т. е. фронт волны заходит в область геометрической тени.

Принцип Гюйгенса решает за­дачу о направлении распространения во­лнового фронта, но не затрагивает вопро­са об амплитуде волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вло­жил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса - Фре­неля, световая волна, возбуждаемая ка­ким-либо источником S, может быть пред­ставлена как результат суперпозиции ко­герентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источ­никами могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. В ка­честве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фик­тивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющи­еся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторич­ных волн.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) резуль­тирующей волны в любой точке простран­ства, т. е. определить закономерности распространения света.

3.2. Метод зон Френеля

Принцип Гюйгенса является чисто гео­метрическим способом построения волно­вых поверхностей. Он никак не связан с физической природой волн и применим как к упругим, так и к электромагнитным волнам в равной мере. Найдем в произвольной точке М ам­плитуду световой волны, распространяю­щейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 3-2).

Согласно принци­пу Гюйгенса — Френеля, заменим дейст­вие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомога­тельной поверхности Ф, являющейся по­верхностью фронта волны, идущей из источника S. Фре­нель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отлича­лись на l/2, т. е. Р₁М- Р₀М=Р₂М- Р₁М=Р₃М- Р₂М=...= l/2. Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами b+l/2, b+2l/2, b+3l/2, ….

Так как колебания от сосед­них зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на l/2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

A=А₁- А₂+ А₃- А₄+...,                              (3.1)

где А₁, А₂,... — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й,... зонами.

Для оценки амплитуд колебаний най­дем площади зон Френеля. Пусть внешняя гра­ница m-й зоны выделяет на волновой по­верхности сферический сегмент высоты h_m (рис. 3-3). Если площадь этого сег­мента s_m, то площадь m-й зоны Френеля равна Ds_m = s_m - s_m-1, где s_m-1 — площадь сферического сегмен­та, выделяемого внешней границей (m-1)-й зоны. Из рисунка следует, что

       (3-2)

Учитывая, что l<<а и l<<b, получим

                                 (3-3)

Площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля соответственно равны

(3-4)

Выражение (3-4) не зависит от номера зоны m; сле­довательно, при не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы.

Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол j_m (рис. 3-3) между нормалью n к поверхности зоны и направлением на М, т. е. действие зон постепенно убывает от центральной (око­ло Р₀) к периферическим (до нуля). Кроме того, интенсивность излучения в направле­нии точки М уменьшается с ростом номера зоны m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фак­тора, можем записать

А₁> А₂> А₃> А₄ ….

Общее число зон Френеля, умещаю­щихся на полусфере, очень велико; напри­мер, при а=b=10 см и l = 0,5 мкм оно равно

Так как число зон Френеля велико, то в качестве допустимого приближения можно счи­тать, что амплитуда колебания А_m от неко­торой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкаю­щих к ней зон, т. е.

.                          (3-5)

Тогда выражение (3-1) можно записать в виде

.     (3-6)

так как выражения, стоящие в скобках, согласно (3-5), равны нулю, а оставша­яся часть от амплитуды последней зоны ±А_m/2 ничтожно мала.

Таким образом, амплитуда, создавае­мая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной централь­ной зоной. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводит­ся к действию ее малого участка, меньше­го центральной зоны.

Если в выражении (3-2) положим, что высота сегмента h_m<<а (при не слиш­ком больших m), тогда  Под­ставив сюда значение (3-3), найдем ра­диус внешней границы m-й зоны Френеля:

                                (3-7)

При a=b=10 см и l=0,5 мкм радиус центральной зоны               r₁= 0,158 мм. Следовательно, распростра­нение света к точке М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т. е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса — Френеля позволяет объяснить прямолинейное распростране­ние света.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально с использованием зонных пластинок — стеклянных пластинок, состоящих из прозрачных и не­прозрачных концентрических колец, по­строенных по принципу расположения зон Френеля, т. е. с радиусами r_m зон Френеля, определяемыми выражением (3-7) для заданных значений a, b и l (m = 0, 2, 4,... для прозрачных и m = 1, 3, 5,... для непрозрачных колец). Если поместить зон­ную пластинку на расстоянии а от то­чечного источника и на расстоянии b от точки наблюдения на линии, соединяющей эти две точки, то для света длиной волны l она перекроет четные зоны и оставит сво­бодными нечетные начиная с центральной. Результирующая ам­плитуда A=А₁+А₃+А₅+…  должна быть больше, чем при полностью открытом фронте. На опыте зонная пластинка во много раз увеличивает ин­тенсивность света в точке М, действуя подобно собирающей линзе.

3.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Сферическая волна, идущая из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей источник S с центром отверстия. Экран параллелен плоскости отвер­стия и находится от него на расстоянии b (рис. 3-4). Разобьем открытую часть волновой по­верхности Ф на зоны Френеля. Вид диф­ракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (3-1) и (3-6)),

,                             (3-8)

где знак плюс соответствует нечетным m, а знак минус — четным.

Если отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны, если четное, то амплитуда бу­дет равна нулю. Если в отверстие уклады­вается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда A=А₁, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием. Интенсивность света больше соответственно в четыре ра­за. Если в отверстии укладываются две зоны Френеля, то из-за интерференции их действия в точке В практически уничтожат друг друга. Таким образом, дифрак­ционная картина от круглого отверстия вблизи точки S будет иметь вид чередую­щихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное — то светлое кольцо), а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины. Если отверстие освещается бе­лым светом, то кольца будут окрашены.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от его диаметра. Если он большой, то А_m<<А₁ и результирующая амплитуда А=А₁/2, т.е. такая же, как и при полностью открытом волновом фрон­те. При этом дифракционной картины нет — свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямо­линейно.

3.4. Дифракция Френеля на диске

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска. Закрытый диском участок фронта волны надо исклю­чить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска (рис. 3-5). Пусть диск закрывает m зон Френеля. Амплитуда результирующего колебания в точке В равна

 или

А=А_m+1/2, так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В будет всегда наблюдаться интерференционный максимум (светлое пятно), соответствую­щий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум ок­ружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точ­ки В и увеличивается угол j_m (см. рис. 3-3) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В ре­зультате интенсивность центрального мак­симума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся пря­молинейно.

Отметим, что дифракция на круглом от­верстии и дифракция на диске впервые рассмотрены Френелем.

 

3.5. Дифракция Фраунгофера на одной щели

Немецкий физик И. Фраунгофер (1787— 1826) рассмотрел дифракцию плоских све­товых волн, или дифракцию в параллель­ных лучах. Дифракция Фраунгофера наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно уда­лены от препятствия, вызвавшего диф­ракцию. Для этого достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину иссле­довать в фокальной плоскости второй со­бирающей линзы, установленной за препятствием.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели (для этого практически достаточно, чтобы длина ще­ли была значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая свето­вая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной MN = а (рис. 3-6, а). Опти­ческая разность хода между крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направлении j,

,

где F — основание перпендикуляра, опу­щенного из точки М на луч ND.

Разобьем часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля в виде полос, параллель­ных ребру М щели. Ширина каждой зоны выбирается таким образом, чтобы разность хода от краев этих зон была равна l/2. На ширине щели тогда уместится  зон.  (3-8) 

Если свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с фронтом волны и все точки фронта в плоскости щели будут колебаться в одной фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, т.к. выбранные зоны Френеля будут иметь равные площади и одинаковый наклон к направлению наблюдения.

Как следует из (3-8), число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла j  и определяет ре­зультат наложения всех вторичных волн. При интерференции колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, следова­тельно, если число зон Френеля четное, т.е. , то   (3-9)        

где m – натуральный ряд чисел, m = 1, 2, 3, ….

       Таким образом в точке В наблюдается дифракционный минимум (полная темнота) первого, второго, третьего и т.д. порядков.

Если число зон Френеля нечетное, т.е. , то                (3-10)

где m – натуральный ряд чисел, m = 0, 1, 2, 3, … и наблюдается дифракционный максимум нулевого, первого, второго, третьего и т.д. порядков, соответствующий действию одной некомпенсированной зоны Френеля.

В прямом направлении (j = 0) щель действует как одна зона Френеля, и свет распространя­ется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке В₀ наблюдается центральный дифракционный максимум.

Распределение ин­тенсивности (дифракционный спектр), получаемое из-за дифракции, приведено на рис. 3-6, б. Положение дифракционных максиму­мов зависит от длины волны l, поэтому такой вид дифракционная карти­на имеет лишь для монохроматического света. При освещении щели белым светом центральный максимум имеет вид белой полоски; он общий для всех длин волн (при j = 0 разность хода равна нулю для всех l).

Справа и слева от центрального видны максимумы пер­вого, второго и других порядков, причем ближе к центру дифракционной картины располагается фиолетовый край спектра (т.к. длина волны фиолетового света меньше длины волны красного света и в соответствие с формулой (3-10) угол отклонения фиолетовых линий меньше угла отклонения линий красного цвета для конкретного порядка.

3.6. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Одномерная дифракционная решетка — система параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ши­рине непрозрачными промежутками. На рис. 3-7 для наглядности показаны только две соседние щели MN и CD. Ширина каждой щели а, а ширина не­прозрачных участков между щелями b, величина      d = a + b называется постоянной дифракционной решетки (периодом). Щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях поэтому разности хода лучей, идущих от соседних щелей, будут для данного направления j одина­ковы в пределах всей дифракционной решетки:

.               (3-11)

    В точке В на экране в фокальной плоскости линзы соберутся лучи, которые до линзы были параллельны между собой и распространялись под углом j  к направлению падающей волны.

Колебание в точке В является результатом интерференции вторичных волн, проходящих от разных щелей. Для того, чтобы в точке В наблюдался интерференционный максимум, разность хода Δ между волнами, испущенными соседними щелями, должна быть равна целому числу длин волн (четному числу полуволн):

(m=0, 1, 2, …).              (3-12)

    При разности хода, равной нечетному числу полуволн, в точке В будет наблюдаться интерференционный минимум:

(m=0, 1, 2, …).                (3-13)

    При пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме цен­трального (m = 0), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обра­щена к центру дифракционной картины, красная — наружу. Это следует из формулы (3-12) в которой угол отклонения m – го максимума j ~ l. Это используется для иссле­дования спектрального состава света (оп­ределения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т. е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор. Распределение энергии по спектрам разных порядков показывает, что значительная часть энергии сосредоточе­на в спектре нулевого порядка (рис. 3-6, б) и по мере перехода к высшим порядкам энергия быстро убывает.   Спектральные приборы, снабженные таки­ми дифракционными                                                                                                                                                                                                                                                решетками, были





<