Тема 6: Ряды динамики

 

Ряд динамики – это последовательность упорядоченных во времени числовых значений показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления.

Ряд динамики включает два обязательных элемента: время (t) и конкретное значение показателя, или уровень ряда (у).

Схематически цепные и базисные показатели представлены на рисунке 1. 1.

                          Базисные показатели динамики

Цепные показатели динамики

Рисунок 1.1 - Цепные и базисные показатели динамики

Абсолютный прирост (∆) показывает, на сколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения, и рассчитывается по формулам:

    - базисный:

∆^б = у_i– у₀,                                          (1.27)

    - цепной:

∆^ц = у_i – у_i-1,                                       (1.28)

где у_i – уровни показателей, соответствующие i-ому периоду (моменту) времени;

у_i-1 – уровни показателей, соответствующие периоду (моменту) времени, предшествующему i-ому периоду (моменту) времени;

у₀ – уровень показателя, соответствующий периоду (моменту) времени, начальному в ряду динамики.

Коэффициент роста (К_р) показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень, принятый за базу сравнения, и рассчитывается по формулам:

    - базисный:

,                                             (1.29)

    - цепной:

,                                    (1.30)

Темп роста (Т_р) показывает, сколько процентов составляет данный уровень по сравнению с уровнем принятым за базу сравнения, т.е. за 100 %, и рассчитывается по формулам:

    - базисный:

,                                 (1.31)

    - цепной:

,                               (1.32)

Коэффициент прироста (К_пр) рассчитывается по формулам:

    - базисный:

,                                        (1.33)

    - цепной:

,                                    (1.34)

или

К_пр= К_р – 1.                             (1.35)

Темп прироста (Т_пр) показывает, на сколько процентов данный уровень ряда больше (меньше) уровня, принятого за базу сравнения, и рассчитывается по формулам:

Т_пр = К_пр∙ 100,                               (1.36)

или

Т_пр = Т_р– 100,                                        (1.37)

Абсолютное значение одного процента прироста (А) рассчитывается по формулам:

А = ,                                               (1.38)

или

- базисный:

А^б = ,                                              (1.39)

- цепной

А^ц = ,                                    (1.40)

Зависимость между базисными и цепными показателями динамики характеризуется формулами:

,                                               (1.41)

т. е. базисный абсолютный прирост равен сумме цепных абсолютных приростов в исследуемом периоде:

,                                             (1.42)

т. е. базисный коэффициент роста равен произведению цепных коэффициентов роста в исследуемом периоде.

Для характеристики ряда динамики используют систему средних показателей динамики: средний уровень ряда; средний абсолютный прирост; средний темп роста; средний темп прироста.

Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал (момент) из имеющейся временной последовательности.

Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.

Для полных интервальных рядов динамики средний уровень ряда () рассчитывается по формуле:

= ,                                         (1.43)

где n - общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень у_i (i =1, 2,…, n).

Для неполных интервальных рядов динамики средний уровень ряда исчисляется по формуле:

= ,                                       (1.45)

где t_i – длительность (в годах, месяцах, днях) i-го временного отрезка, которому соответствует свой уровень у_i (i =1, 2,…, n).

Для полных моментных рядов динамики средний уровень ряда рассчитывается по формуле:

= ,                                     (1.46)

где n - общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень у_i (i =1, 2,…, n).

Для неполных моментных рядов динамики средний уровень ряда рассчитывается по формуле:

= ,                                          (1.47)

где t_i – число лет, месяцев, дней, в течение которых уровень у_i не менялся.

Средний абсолютный прирост () рассчитывается по формулам:

,                                                (1.48)

или

,                                                 (1.49)

где n - общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень у_i (i =1, 2,…, n).

Средний коэффициент роста () рассчитывается по формулам:

 ,                                       (1.50)

или

,                                            (1.51)

где n - общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень у_i (i =1, 2,…, n).

 Средний темп роста () рассчитывается по формуле:

 = ,                              (1.52)

Средний темп прироста () рассчитывается по формуле:

                 =  - 100.                 (1.53)

Для оценки интенсивности изменения уровней показателей взаимосвязанных рядов динамики проводят их сравнительный анализ.

Под взаимосвязанными рядами динамики понимают такие, в которых уровни одного ряда в какой-то степени определяют уровни другого.

Коэффициенты опережения по темпам роста () представляют собой отношение темпов роста (цепных или базисных) одного ряда () к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда () и рассчитывается по формуле:

                                               ,                                     (1.54)

           

       Тема 7: Экономические индексы

 

Статистический индекс – это обобщающий показатель, отражающий соотношение величин сложного экономического явления, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов.

Индексы как относительные величины могут быть выражены в форме коэффициентов или процентов.Широкий спектр задач, решаемых с помощью индексного метода, предопределяет формирование использование целой системы этих показателей. В статистике различают несколько видов индексов.

По характеру исследуемых объектов индексы делятся на индексы количественных (объемных) и индексы качественных показателей;

По степени охвата единиц совокупности: на индивидуальные и общие индексы;

В зависимости от методологии расчетов общих индексов: различают агрегатные индексы и средние из индивидуальных индексов;

В зависимости от базы сравнения – цепные и базисные индексы;

Индексы средних величин объединяют индексы переменного состава, индексы постоянного состава и индексы структурных сдвигов.

Индивидуальные индексы дают сравнительную характеристику отдельных элементов сложного явления и обозначаются с помощью буквы i. Около основания индекса всегда ставится символ того явления, изменение которого изучают. Показатель, изменение которого изучается, называется индексируемым, и его сопровождают знаком 1, если это данные отчетного периода, и 0, если они представлены за базисный период.

Например, индивидуальный индекс объема произведенной продукции определенного вида (q), представленный в форме коэффициента, рассчитывается по формуле:

,                                           (1.55)

По этой же схеме строятся индивидуальные индексы других показателей (признаков).

Общие индексы характеризуют изменение совокупности, в которую входят разнородные элементы и обозначаются I. Если индексы охватывают не все единицы совокупности, то такие индексы называют групповыми, или субиндексами.

Агрегатные индексы являются основной формой экономических индексов.

При моделировании агрегатных индексов необходимо придерживаться общепринятого порядка символического обозначения соответствующих явлений. В статистике приняты следующие обозначения показателей, изучаемых с помощью индексов:

q – количество продукции в натуральных единицах;

p – цена единицы продукции или товара;

z - себестоимость единицы продукции;

t – трудоемкость изготовления единицы продукции;

w - выработка продукции в расчете на 1 работника (производительность труда);

Т – численность работников.

Для построения общих индексов важно учитывать взаимосвязь выше приведенных показателей:

pq – стоимость произведенной или реализованной продукции Q(общий товарооборот);

zq – общие затраты на производство продукции в денежном выражении;

tq - общие затраты времени на производство продукции выраженные в трудовых единицах измерения;

wТ - объем произведенной продукции Q (в натуральном или стоимостном выражении в зависимости от того в каких единицах измерения выражена выработка продукции); 

Таким образом, если строится индекс количественного (объемного) показателя, отдельные виды единиц которого непосредственно не суммируются, то получение их общей суммы достигается при помощи соизмерителя. Если индексируемой величиной является качественный признак, то в общем индексе его уровень умножается на значения связанного с ним количественного показателя, который играет роль веса.

Для определения изменения стоимости реализованной продукции в текущем периоде по сравнению с базисным используется общий индекс, называемый в статистике индексом товарооборота (I_pq), рассчитываемый по формуле:

,                                          (1.56)

где p₁q₁, p₀q₀– товарооборот отдельных видов соответственно в отчетном и базисном периодах.

Приведенный индекс характеризует изменение сложного явления - товарооборота под влиянием двух факторов: изменения физического объема продажи отдельных товаров и изменения цен, по которым они реализовывались.

Как изменился товарооборот только за счет изменения количества проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом, позволяет оценить общий индекс физического объема товарооборота (I_q), рассчитываемый по формуле:

, (1.57)

Принимая цены на уровне базисного периода при построении индексов физического объема, полностью устраняется влияние цен на величину индекса.

Как изменился товарооборот только за счет изменения цен проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом, позволяет оценить общий индекс цен (I_p), рассчитываемый по формуле:

,                        (1.58)

При условии фиксирования количества проданных товаров на уровне отчетного периода открывается возможность определить реальную экономию, которую получит население в случае снижения цен, или дополнительные затраты, если цены растут.

Индексный метод широко используется для анализа роли отдельных факторов в динамике сложного экономического явления, изменение которого обусловлено действием нескольких факторов, выступающих сомножителями.

Безусловным преимуществом индексных систем является возможность их использования для определения не только относительных показателей влияния отдельных факторов на результативный признак, а и возможность определить на их основе абсолютные величины изменения этого показателя в результате действия указанных факторов.

Абсолютный прирост результативного признака раскладывается на столько же частей, на сколько факторов-сомножителей раскладывается этот показатель.

Абсолютный прирост за счет конкретного фактора рассчитывается как разница между числителем и знаменателем субиндекса этого фактора.

Так, абсолютный прирост товарооборота за счет изменения физического объема реализованной продукции определяется по формуле:

,                                     (1.59)

Абсолютный прирост товарооборота за счет изменения цен реализованных товаров рассчитывается по формуле:

,                                   (1.60)

Абсолютный прирост товарооборота, исчисленный по формуле:

,                    (1.61)

Будет равен сумме абсолютных приростов товарооборота, обусловленных влиянием рассмотренных факторов, что может быть выражено формулой:

, (1.62)

Индексную систему часто используют для определения третьего показателя, если известны два других, входящих в систему.

Средние из индивидуальных индексов являются производными индексами, их получают вследствие преобразования агрегатных индексов. Поэтому средний из индивидуальных индексов тождественен агрегатному индексу.

Каждый агрегатный индекс может быть преобразован в средний индекс: средний арифметический или средний гармонический.

Средний арифметический индекс целесообразно использовать тогда, когда в агрегатном индексе реальная величина (товарооборот - ∑p₁q₁ или ∑p₀q₀) находится в знаменателе дроби, а средний гармонический индекс целесообразно использовать тогда, когда в агрегатном индексе реальная величина находится в числителе дроби.

В агрегатной форме общего индекса физического объема товарооборота знаменатель формулы является величиной реальной, а числитель – условною, поэтому общий индекс физического объема товарооборота выступает в виде средней арифметической величины из индивидуальных индексов физического объема товаров (i_q), которые взвешены по стоимости продукции базисного периода в базисных ценах (p₀q₀).

Общий индекс физического объема как средний из индивидуальных рассчитывается по формуле

,                         (1.63)

В агрегатной форме индекса цен числитель формулы является величиной реальной, а знаменатель – условною, поэтому общий индекс цен – это средняя гармоническая величина индивидуальных индексов цен (i_р), взвешенных на сумму фактического товарооборота отчетного периода (p₁q₁).

Общий индекс цен как средний из индивидуальных рассчитывается по формуле

,                                           (1.64)

Выбор формы индекса (агрегатный или средний из индивидуальных) зависит от цели исследования и имеющейся информации.

Индивидуальные базисные индексы физического объема рассчитываются по формулам:

; ; ; ; …        (1.65)

Индивидуальные цепные индексы физического объема рассчитываются по формулам:

; ; ; ; …              (1.66)

Агрегатные базисные индексы товарооборота рассчитываются по формулам:

; ; ; ; …(1.67)

Агрегатные цепные индексы товарооборота рассчитываются по формулам:

; ; ; ; (1.68)

Для индивидуальных индексов цен, физического объема и индексов стоимости продукции справедливо правило (состоящее из двух частей):

1) произведение промежуточных по периодам цепных индексов дает базисный индекс последнего периода, т.е. выполняется равенство:

i_1/0 ∙ i_2/1 ∙ i_3/2 ∙ i_4/3 = i_4/0,  (1.69)

2) отношение базисного индекса i-го периода к базисному индексу предшествующего ((i-1)-го) периода дает цепной индекс i-го периода, например, выполняется следующее равенство:

,                                   (1.70)

Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным индексам и наоборот.

Применение цепного метода исчисления индексов для общих индексов возможно только для агрегатных индексов физического объема с постоянными (фиксированными на уровне одного и того же периода) соизмерителями.

Так, базисный индекс физического объема отчетного периода может быть получен перемножением соответствующих цепных индексов, если соизмеритель принимается на уровне одного и того же периода, т.е., например, выполняется равенство, представленное формулой:

I_4/0 = I_1/0 ∙ I_2/1 ∙ I_3/2 ∙ I_4/3,                                (1.71)

Два базисных агрегатных индекса физического объема с постояннымисоизмерителями (I_i/0 и I_i-1/0), позволяют получить цепной индекс i-го периода (I_i/і-1) и, например, выполняется равенство:

.                                    (1.72)

Агрегатные индексы качественных показателей всегда является индексами с переменными весами, т.к. количество продукции каждый раз принимается на уровне отчетного периода. Поэтому цепной метод расчета индексов не применим к агрегатным индексам качественных показателей.

При изучении процессов, происходящих в народном хозяйстве, вместе с абсолютными величинами широко используются и средние величины.

Для характеристики изменения средних величин рассчитывают индексы переменного состава, постоянного состава, структурных сдвигов, формирующих систему взаимосвязанных индексов, представленную формулой, например, для цен:

,                                           (1.73)

где – индекс цен переменного состава;

I_p – индекс цен постоянного состава;

I_d – индекс структурных сдвигов.

Индекс переменного состава характеризует динамику средних величин качественных показателей и отражает как изменение индексируемой величины, так и изменение структуры изучаемого явления.

Механизм расчета индекса переменного состава на примере расчета индекса цен переменного состава, представлен формулой:

,                        (1.74)

Индекс переменного состава раскладывается на два субиндекса: индекс постоянного состава и индекс структурных сдвигов (формула 6.27).

Индекс постоянного состава характеризует изменение качественного показателя, которое изучается в условиях неизменной структуры исследуемой совокупности. Этот индекс соответствует агрегатной форме индекса усредняемого признака.

Механизм расчета индекса постоянного состава на примере расчета индекса цен постоянного состава, представлен формулой:

, (1.75)

Индекс структурных сдвигов характеризует динамику средних значений индексируемого признака, обусловленную влиянием сдвигов в структуре весов индивидуальных значений усредняемого признака единиц совокупности. 

Механизм расчета индекса структурных сдвигов на примере расчета индекса структурных сдвигов в продажах товаров по соответствующим ценам, представлен формулой:

,                           (1.76)

Рассмотренные выше статистические индексы используются главным образом для изучения развития явлений и процессов во времени, а также для анализа выполнения плановых заданий и норм. Однако индексный метод широко применяется и для территориальных сравнений.