Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Уравнение Шредингера

Как, зная структуру силового поля, в котором движется частица, определить волновую функцию, описывающую квантовомеханическое состояние этой частицы? Как, зная волновую функцию в начальный момент времени, описать эволюцию волновой функции во времени? Ответы на эти вопросы дает основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, сформулированное Э.Шредингером в 1926 г.

Общее временное уравнение Шредингера, позволяющее определить в любой момент времени волновую функцию для частицы массы , движущейся в силовом поле , описываемом скалярной потенциальной функцией , имеет вид

 

.

(3.8)

Здесь - мнимая единица, а - рационализированная постоянная Планка. Стандартным символом в (3.8) обозначен дифференциальный оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид

 

.

(3.9)

В общем случае в задачах квантовой механики дифференциальное уравнение в частных производных (3.8) должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий на волновую функцию.

Начальное условие задает значение волновой функции в начальный момент времени .

Граничные условия являются следствием регулярности волновой функции, обеспечивая, в частности, ее непрерывность. Эти условия формулируются на границах областей, где потенциальная функция терпит разрывы первого или второго рода. Сюда же относятся условия на волновую функцию в бесконечно удаленных точках пространства, которые обеспечивают выполнение условия нормировки (3.4).

Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения электродинамики Максвелла и другие основные физические уравнения, не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого доказывается согласием результатов расчетов, выполненных с помощью уравнения Шредингера, с данными экспериментов. Такое согласие установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике. Квантовые эффекты, предсказанные с помощью уравнения Шредингера, лежат в основе многих технических устройств, приборов и технологий.

Уравнение Шредингера тесно связано с гипотезой де Бройля и вытекающим из неё корпускулярно-волновым дуализмом материи. Действительно, непосредственной проверкой легко убедиться, что для свободной частицы, с кинетической энергий , движущейся в отсутствие силовых полей () в направлении оси , решением соответствующего уравнения Шредингера

 

(3.10)

является волновая функция

 

,

(3.11)

соответствующая плоской волне де Бройля. Этот факт позволяет утверждать, что и в общем случае уравнение Шредингера является волновым уравнением. Линейность этого уравнения обуславливает принцип суперпозиции квантовых состояний, физическое содержание которого обсуждалось в предыдущем параграфе.

Как уже указывалось, квантовая механика содержит в себе классическую механику как некоторый предельный случай. Значит, соответствующий предельный переход можно осуществить и в основном уравнении квантовой механики. Уравнение Шредингера после такого предельного преобразования должно перейти в основное уравнение классической механики.

Связь между квантовой и классической механикой аналогична связи между волновой и геометрической оптикой. В обоих случаях переход от одной теории к другой соответствует переходу от относительно больших длин волн (частицы или излучения) к малым длинам волн, если их сравнивать с характерным размером области неоднородности силового поля или оптических свойств среды. Этот вывод иллюстрирует следующая таблица

 

Волновая оптика	Квантовая механика
Геометрическая оптика	Классическая механика

 

В таком сравнении теорий траектория движения классической частицы является аналогом светового луча в геометрической оптике.

Формально, малость длины волны де Бройля для частицы можно обеспечить, считая квант действия некоторым параметром задачи и осуществляя предельный переход по этому параметру. Действительно, по формуле де Бройля (2.2) при длина волны де Бройля также стремится к нулю. Поэтому переход от квантовой теории к классической в уравнении Шредингера (3.8) можно осуществить, выполняя в нем предельный переход . В курсах теоретической физики анализируются результаты такого предельного перехода и доказывается, что при общее временное уравнение Шредингера (3.8) переходит в уравнение Гамильтона-Якоби классической механики.

Следует отметить, что с помощью волновых функций, найденных из решений уравнения Шредингера, можно описывать квантовые состояния только нерелятивистских частиц, которые движутся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. Переход к релятивистским скоростям частиц в квантовой механике был впервые осуществлен для электрона П.Дираком в 1928 г. Такой переход потребовал принципиально новых физических идей для описания квантовых состояний релятивистских частиц, результатом применения которых явилось создание релятивистской квантовой механики. В основе этой теории лежит уравнение Дирака, которое обобщает уравнение Шредингера и в настоящее время широко используется в квантовой электродинамике и теории элементарных частиц.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики является временное уравнение Шредингера

 

(4.1)

где - оператор полной энергии частицы (оператор Гамильтона). Это уравнение позволяет найти волновую функцию как функцию координат и времени, определить плотность вероятности нахождения частицы в любой точке пространства в любой момент времени и тем самым полностью описать квантовое состояние частицы, движущейся в силовом поле.

В квантовой механике существует класс задач о движении в силовых полях, для которых силовая функция не зависит явно от времени, т.е. . Такие силовые поля называются стационарными силовыми полями, в этом случае силовая функция имеет смысл потенциальной энергии частицы. В стационарных полях квантовая система может находиться в состояниях с определенным значением энергии . Эти состояния называются стационарными состояниями, а задачи о движении частиц, находящихся в таких состояниях, - стационарными задачами квантовой механики. Именно анализу стационарных состояний квантовых систем и будет посвящено дальнейшее изложение в этой главе.

Найдем общий вид волновой функции, соответствующей стационарному состоянию. Поскольку оператор в уравнении (4.1) не зависит явно от времени, то волновую функцию следует искать в виде произведения двух функций

 

(4.2)

одна из которых - - зависит только от координат, а другая - - только от времени. Подставляя волновую функцию (4.2) в уравнение (4.1), и разделив затем обе части уравнения на , получаем

 

(4.3)

В уравнении (4.3) левая часть зависит только от времени, а правая - только от координат. Выполнение этого равенства возможно лишь в том случае, если левая и правая части уравнения равны постоянной величине, обозначим ее буквой . Таким образом, из (4.3) получаем два уравнения - одно для функции , а другое - для функции

 

(4.4a)

 

(4.4b)

Уравнение (4.4a) определяет собственные значения и собственные функции оператора полной энергии (гамильтониана) . Следовательно, константа представляет собой не что иное, как полную энергию квантово-механической системы. Перепишем уравнение (4.4a) с учетом вида оператора

 

(4.5)

где - оператор Лапласа. Уравнение (4.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его решения - функции и соответствующие значения энергии - определяются конкретным видом потенциальной энергии частицы . Часто уравнение Шредингера для стационарных состояний записывают в следующей форме

 

(4.6)

Перейдем теперь к анализу временной функции . Решение уравнения (4.4b) имеет вид

 

(4.7)

где - некоторая константа. Без потери общности можно положить , так как функция входит во все выражения лишь в виде произведения с функцией , которая также определяется с точностью до произвольного множителя. Поэтому нет смысла вводить еще одну произвольную постоянную и для функции .

Таким образом, волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вид

 

(4.8)

Из (4.8) следует, что волновая функция стационарного состояния гармонически зависит от времени с частотой

 

Этот результат показывает, что соотношение де Бройля , первоначально применявшееся в случае свободного движения частицы, справедливо также и в случае движения частицы в произвольном стационарном силовом поле.

Важно отметить, что для стационарных состояний плотность вероятности местонахождения частицы не зависит от времени. Действительно,

 

(4.9)

Можно показать, что в стационарных состояниях от времени также не зависит вектор плотности потока вероятности и средние значения физических величин.

С учетом соотношения (4.9) условие нормировки волновой функции

 

принимает вид

 

(4.10)

Координатную часть волновой функции в стационарных задачах часто называют просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени определяется соотношением (4.8).