Доверительный интервал -1. Интервал для среднего случайной выборки, если генеральное среднее известно

Предположим, что нам известно генеральное среднее µ, и мы сделали выборку достаточно большую для того, чтобы утверждать, что распределение средних для выборок такого объема близко к нормальному.

Среднее для такой выборки  есть одна точка (варианта) в распределении выборочных средних. Мы можем также используя данные нашей выборки вычислить , которая является оценкой корня из дисперсии для распределения выборочных средних.

Но матожидание для распределения средних совпадает с генеральным средним µ.

Теперь используя µ и  в качестве матожидания и стандартного отклонения для распределения средних, мы можем оценить вероятность попадания среднего нашей выборки  в любой интервал, для чего можно воспользоваться функцией Лапласа (интегралом вероятностей).

Так мы можем утверждать, что вероятность того, что среднее для нашей выборки  с заданным объемом n находится в интервале (µ − , µ + ) c вероятностью 68,3%.

Действительно, концы интервала (µ − , µ + ) соответствуют значениям аргумента функции Лапласа[8]: (–1) и +1.  Из таблицы находим, что значение этой функции для х = 1 составляет Ф(1) = 0,841. Значит Ф(−1) = 1−Ф(1) = 1−0,841 = 0,159, а вероятность попасть в интервал (−1, 1) соответственно будет равно: Р = 0,841 − 0,159 ≈ 0,683 = 68,3%.

Соответственно, вероятность оказаться в интервале (µ − 2 , µ + 2 ) составит примерно 95,5%.

Обычно используются круглые значения не для коэффициента с, а для вероятности: 95% и 99%, они соответствуют значениям множителя с перед : 1,96 и 2,58 соответственно.