Есть ряд характерных экономических задач, требующих нелинейных зависимостей для своего описания. Например, для описания зависимости спроса на товар от семейного дохода (кривые Энгеля) используются зависимости:
(2.10)
(2.11)[19]
В приведенных примерах зависимости объясняемой переменной Y от объясняющей переменной Х очевидно нелинейны. Однако обе эти зависимости содержат всего два параметра, подлежащих определению. А это дает нам шанс воспользоваться линейным регрессионным анализом. Действительно, первое из этих уравнений (2.10) нелинейно по Х, но линейно по искомым параметрам b1 и b2. Следовательно достаточно вместо объясняющей величины Х ввести новую объясняющую величину и мы получим хорошо нам знакомый вид зависимости: Y= b1 + b2 Z, и далее весь аппарат линейной регрессионной модели прекрасно работает.
Вполне очевидно, что подобный подход применим не только к зависимости типа (2.10), но ко всем зависимостям типа: Y= b1 + b2 f(X), где f(X) – функция, строго монотонная на интересующем нас интервале[20]; достаточно перейти к новой объясняющей переменной Z= f(X), – и мы получим хорошо нам знакомую линейную модель Y= b1 + b2 Z.
|
|
Более того, предлагаемый подход можно расширить на боле сложные двухпараметрические модели, если допустить замену не только объясняющей, но и объясняемой переменной. Например, пусть предполагаемая зависимость между нашими переменными имеет вид:
Y= b1 X + b2 X3.
Разделив обе части этого равенства на, получим следующую зависимость:
Если теперь сделать двойную замену переменных, заменив X2 на Z, а на W, то получим для новых переменных линейную зависимость:
Случай, представленный формулой (2.11) выглядит более сложным, т.к. параметр зависимости b2 входит в формулу нелинейным образом. Однако и в этом случае можно подобрать подходящую замену переменных. В самом деле, эта формула описывает зависимость с постоянной эластичностью, равной b2. А зависимости постоянной эластичностью становятся линейными в логарифмическом масштабе. Следовательно, если осуществить двойную логарифмическую замену: W = lg(Y), Z = lg(X), а также ввести обозначение: b0 = lg(b1), мы увидим, что нелинейная двухпараметрическая зависимость (2.11) превратится в хорошо нам знакомую линейную модель
W = b0 + b2 Z
Как мы видим, спектр применения модели линейной регрессии оказывается гораздо более широким, чем это кажется на первый взгляд.
Приведем в заключение таблицу наиболее часто встречающихся нелинейных зависимостей, которые определенными взаимно однозначными преобразованиями переменных могут быть приведены к линейной модели.
|
|
Исходная зависимость | Искомые параметры | Преобразованная зависимость | Введенные вспомогательные величины |
b1, b2 | W = b0 + b2 Z | W = lg(Y), Z = lg(X), b0 = lg(b1) | |
b1, b2 | Y= b1 + b2 Z | ||
b1, a | Y= b2 + b1 Z | Z = lg(X), b2 = b1 lg(a) | |
Y= b1 X + b2 X3 | b1, b2 | W = b1 + b2 Z | W = , Z = X2, |
b1, b2 | W = b0 + b2 X | W = ln(Y), b0 = ln(b1) |