Модели рядов динамики

1 2 3 4 5 6

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ

им. М. ТУГАН-БАРАНОВСКОГО

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Э К О Н О М Е Т Р И Я

Учебное пособие

Утверждено на заседании кафедры высшей и прикладной математики.

Протокол № от 2002 г.

Одобрено учебно-методическим советом университета.

протокол № от 2002 г.

ДОНЕЦК 2002

УДК 330. 115

Эконометрия. Учебное пособие. /Cост. Пенина Г.Г., Шепеленко О.В., Узбек Е.К., Орлова Л.М. - Донецк: ДонГУЭТ, 2002. - 79 с.

Учебное пособие предназначено для студентов дневного и заочного отделений экономических специальностей. Его цель – помочь студентам усвоить темы курса эконометрии. Учебное пособие содержит теоретические вопросы, а также решения типовых задач. Даны рекомендации к решению задач, которые предназначены в помощь студентам при выполнении контрольной работы.

Рецензент: Винда Е.В., канд. техн. наук, доцент

экономики и торговли

им. М.Туган-Барановского, 2002

ВСТУПЛЕНИЕ

Эконометрия – это наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости экономических процессов и объектов с помощью математико-статистических методов и моделей.

Возрастающей интерес к эконометрии вызван современным этапом развития экономики в государстве, формированием рыночных отношений. Эконометрия имеет инструментарий, который позволяет перейти от качественного уровня анализа к уровню, который использует количественные статистические значения исследуемых величин. Она рассматривает не отдельные частичные характеристики, а строится на комплексном исследовании всего экономического процесса.

Эконометрия является синтезной дисциплиной; она объединяет в себе экономическую теорию, математическую экономику, экономическую и математическую статистику. Курс эконометрии тесно связан с микроэкономикой, макроэкономикой, финансовым анализом, обеспечивая прикладные знания специалистов. В нем содержатся исследовательские приемы изучения взаимосвязи экономических явлений, выдвигаются и проверяются гипотезы о наличии корреляционных связей между признаками, количественно оценивается существенность взаимосвязей, определяются формы связи и проводится выбор уравнений, оценивается достоверность параметров, строятся однофакторные и многофакторные регрессионные модели, дается оценка их адекватности и надежности.

Особое место занимает исследование связи в динамических процессах путем построения авторегрессионных моделей и оценки возможности использования их в прогнозировании. Без эконометрических методов нельзя построить надежного прогноза, а значит – под вопросом и успех в управлении экономическими процессами в бизнесе, банковском деле, финансах.

МОДЕЛИ РЯДОВ ДИНАМИКИ

Одной из важнейших задач исследования экономических процессов является изучение изменения экономических показателей с течением времени (товарооборота, объема выпуска продукции, производительности труда и т.д.). Эта задача решается с помощью упорядочения и анализа рядов динамики.

Динамическим рядом называется последовательность результатов наблюдений за явлением через равные промежутки времени.

Изучая ряды динамики, стремятся обнаружить основную, главную тенденцию в изменении показателей ряда. Аналитическое моделирование рядов динамики проводится с помощью простейших экономико-математических моделей: линейной, параболической, гиперболической, логарифмической, показательной, степенной и других.

Пример 1.

Проанализировать показатели реализации мучных изделий в государственной торговле Донецкой области за ряд лет. Найти уравнения линейной, параболической и гиперболической зависимостей. Проверить адекватность полученных экономико-математических моделей, определить наилучшую модель.

Годы	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Реализация изделий, тыс.т	12,1	12,9	13,7	13,9	14,5	15,1	15,7	16,1	16,6	17,1

Решение. Данные таблицы показывают, что реализация продукции неуклонно возрастала, хотя происходило это неравномерно. Очевидно, существует ряд факторов, под влиянием которых изменяется величина объема реализации. Некоторые из факторов могут действовать долгосрочно, а другие – кратковременно; некоторые могут быть важными, другие – случайными.

Для выравнивания показателя реализации мучных изделий в государственной торговле будем использовать такие функции: линейную, параболическую и гиперболическую. Параметры избранных для моделирования функций можно найти с помощью метода наименьших квадратов. На его основе для каждой из функций формируют специальную систему уравнений Гаусса. Для указанных функций приведем соответствующие системы:

Линейная -	(1)
Параболическая -	(2)
Гиперболическая -	(3)

В любой из систем (1)-(3) – результативный показатель; – фактор времени; – количество наблюдений; – параметры моделей.

Отсчет временного показателя начинают от 1. Составим вспомогательную расчетную таблицу 1 и на ее основе сформируем системы Гаусса.

Таблица 1 - Вспомогательные расчеты для формирования систем Гаусса

х	у	x ²	x ³	x ⁴	уx	yx ²	1/ x	1/ x ²	y / x
1	12,1	1	1	1	12,1	12,1	1	1	12,1
2	12,9	4	8	16	25,8	51,6	0,5	0,25	6,45
3	13,7	9	27	81	41,1	123,3	0,333	0,111	4,5667
4	13,9	16	64	256	55,6	222,4	0,25	0,0625	3,475
5	14,5	25	125	625	72,5	362,5	0,2	0,04	2,9
6	15,1	36	216	1296	90,6	543,6	0,167	0,0278	2,5167
7	15,7	49	343	2401	109,9	769,3	0,1428	0,0204	2,2429
8	16,1	64	512	4096	128,8	1030,4	0,125	0,0156	2,0125
9	16,6	81	729	6561	149,4	1344,6	0,111	0,0123	1,844
10	17,1	100	1000	10000	171	1710	0,1	0,01	1,71
55	147,7	385	3025	25333	856,8	6169,8	2,9288	1,5496	39,8178

В последней строке таблицы 1 указаны суммы всех значений для каждого столбца.

Составим системы для трех функций и найдем соответствующие уравнения.

Для определения параметров уравнения линейной функции запишем систему уравнений (1) и найдем ее решение:

Таким образом, – линейная модель.

Для определения параметров уравнения параболической функции запишем систему уравнений (2) и найдем ее решение с помощью метода Гаусса:

Таким образом, – параболическая модель.

Для определения параметров уравнения гиперболической функции запишем систему уравнений (3) и найдем ее решение

Таким образом, – гиперболическая модель.

Адекватность экономико-математической модели может быть установлена с помощью средней ошибки аппроксимации (среднего процента расхождения теоретических и фактических значений):

, (4)

где – фактические значения показателя, – теоретические значения, найденные по уравнению.

Для этого по каждому уравнению находят теоретические значения , подставляя в него соответствующие значения , и для каждого значения рассчитывают , потом находят среднее значение .

При моделировании экономических показателей чаще всего допускается 5% погрешность (иногда 7%, редко 10%). Модель считается адекватной (то есть пригодной), если .

Выбор наилучшей модели можно проводить на основе остаточного среднеквадратичного отклонения (остаточной дисперсии):

, (5)

где – количество параметров в уравнении.

Лучшей будет та функция, для которой значение меньше.

Таблица 2 - Расчеты для линейной функции


1	12,1	12,3458	0,2458	1,991	0,060418
2	12,9	12,8846	0,0154	0,1195	0,000237
3	13,7	13,4234	0,2766	2,0606	0,076508
4	13,9	13,9622	0,0622	0,4455	0,003869
5	14,5	14,501	0,001	0,0069	0,000006
6	15,1	15,0398	0,0602	0,4003	0,003624
7	15,7	15,5786	0,1214	0,7793	0,014738
8	16,1	16,1174	0,0174	0,1079	0,000303
9	16,6	16,6562	0,0562	0,3374	0,003158
10	17,1	17,195	0,095	0,5525	0,009025
				6,8008	0,17188

Из формул (4), (5) имеем: ; .

Таблица 3 - Расчеты для параболической функции


1	12,1	12,2251	0,1251	1,023305	0,01565
2	12,9	12,8445	0,0555	0,432092	0,00308
3	13,7	13,4437	0,2563	1,906469	0,06569
4	13,9	14,0227	0,1227	0,87501	0,015055
5	14,5	14,5815	0,0815	0,558927	0,006642
6	15,1	15,1201	0,0201	0,132936	0,000404
7	15,7	15,6385	0,0615	0,39326	0,003782
8	16,1	16,1367	0,0367	0,227432	0,001347
9	16,6	16,6147	0,0147	0,088476	0,000216
10	17,1	17,0725	0,0275	0,161078	0,000756
				5,798984	0,112623

Из формул (4), (5) имеем: ; .

Таблица 4 - Расчеты для гиперболической функции


1	12,1	11,251	0,8489	7,5450	0,7206
2	12,9	13,739	0,83905	6,1070	0,7040
3	13,7	14,568	0,868367	5,9606	0,7541
4	13,9	14,983	1,083025	7,2283	1,1729
5	14,5	15,232	0,73182	4,8045	0,5356
6	15,1	15,398	0,297683	1,9333	0,0886
7	15,7	15,517	0,183843	1,1848	0,0338
8	16,1	15,605	0,4945	3,1720	0,2450
9	16,6	15,674	0,9259	5,9070	0,8573
10	17,1	15,729	1,3706	8,71355	1,8785
				52,556	6,9904

Из формул (4), (5) имеем: . Поскольку ,

то эта модель адекватной не является и считать для нее не надо.

Составим сводную таблицу для статистических оцениваемых характеристик:

Таблица 5 - Статистические оценки для исследуемых моделей

Вид функции
Линейная	0,68	0,147
Парабола	0,579	0,127
Гипербола	5,25	–

Из сравнения средних ошибок аппроксимации видно, что для гиперболической функции она выходит за 5% уровень, у линейной модели и параболической эта характеристика не выходит за 5% уровень и приблизительно одинаковая. Если оценивать преимущество, то очевидно, что лучшей есть параболическая функция, поскольку у нее остаточное среднеквадратичное отклонение меньше всего.