Рис.5 |
Тогда или
- тригонометрическая форма комплексного числа. (5)
- называют модулем, а - аргументом комплексного числа и обозначают: , .
По теореме Пифагора ; (6)
. (7)
определен с точностью до периода .В качестве главного аргумента принимают значение полярного угла, удовлетворяющее неравенству или .
Тогда ().
Для не определен, а равен 0.
Задача 2. Найти модуль и аргумент комплексного числа: а) ,
б) , в)
Решение: а)
Рис.6 |
б) , , тогда
|
|
.
По определению функции , где . Но для заданного числа
Рис.7 |
Тогда
в) , .
.
Рис.8 |
Неравенство , где , задает множество точек , лежащих на окружности с центром и радиусом , т.к. - расстояние от точки до точки .
Задача 3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству: , .
Решение. Преобразуем неравенство . Требуется найти множество комплексных чисел таких, что расстояние от каждой из них до числа было меньше 2. Нарисуем окружность с центром в точке и радиусом 2. Ясно, что искомые точки лежат внутри окружности. Учитывая значения , искомые точки принадлежат заштрихованной области (рис 9).
Рис.9 |
Произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме
Пусть дано два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме: , . Тогда
, т.е. (8)
; .
Задача 4. Найти произведение чисел и .
Решение.
, , .
, , .
Рис.10 |
.
Формула Эйлера
Воспользуемся разложением в ряд Тейлора-Маклорена функций:
В последнюю формулу вместо подставим :
(9)
Тогда - формула Эйлера.
Подставив в формулу , получим соотношение между числами: .
А именно ,
Используя формулу Эйлера, была получена показательная форма комплексного числа:
(10)
Тогда: (11)
Последнее равенство подтверждает правило для вычисления произведения комплексных чисел: модули перемножаются, аргументы суммируются.
|
|
Используя формулу произведения комплексных чисел в а) показательной и б) тригонометрической формах, легко получить форму возведения в степень:
а) ,
б) - формула Муавра (12)
Аналогично . (13)
Следует заметить, что для нахождения угла требуется учитывать не только полярный угол , но и период , т.е. . (14)
Задача 5.1. Найти значение выражения , для ; а) ; б) .
Решение. По формуле (6) . Воспользовавшись формулой (7), получим: . Запишем заданное число в показательной форме: .
Найдем .
а) .
Рис.11 |
Тогда, если : ;
: ;
: - графическое изображение совпадает с , все следующие углы будут повторять уже найденные.
Итого, .
Задача 5.2. Найти .
Решение. . По формулам (6) и (7) получим:
, , .
.
По формуле (14) получим: .
Тогда:
: ;
: ;
Рис.12 |
: - графическое изображение совпадает с . Т.к. для всех корней () они лежат на окружности радиуса 2.
Найдем алгебраическую форму этих корней:
;
;
.