Если в точке существует предел , то он называется производной функции в точке и обозначается или .
Если в точке функция имеет производную , то говорят, что функция дифференцируема в точке .
Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области и имеющая в этой области непрерывную производную , называется аналитической в области .
Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные , , , , причем эти производные связаны условиями:
; , (28)
которые называются условиями Коши-Римана.
Условия Коши-Римана являются необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке .
Верно и обратное утверждение: если частные производные , , , непрерывны в точке и условия Коши-Римана (28) выполнены, то функция дифференцируема, а следовательно и аналитична, в точке .
Производная функции при выполнении условий (28) может быть записана соответственно:
Производные элементарных функций вычисляются по тем же формулам, что и для действительного аргумента:
Задача 9. Пусть , . Найти .
Решение. Найдем производную, используя формулу для , учитывая, что данная функция является сложной:
.
Тогда
.
Задача 10. Найти аналитическую функцию по следующим данным:
, .
Решение. Т.к. является более сложной функцией, чем , воспользуемся сначала вторым условием Коши-Римана: .
Т.е.
, где - произвольная функция от переменной .
Теперь воспользуемся первым условием Коши-Римана: .
.
.
Приравнивая полученные выражения и , получим
.
Тогда .
Воспользуемся условием: при (), получим:
. Тогда .