Определение вида и параметров эмпирической зависимости методом наименьших квадратов

Лабораторная работа №3

 

Задача отыскания параметров эмпирической формулы является одной из наиболее важных задач, встречающихся при обработке результатов наблюдений, различных экспериментов и т.п. Ее суть в следующем.

Имеется m точек, заданных координатами в декартовой системе координат (x_i,y_i), i=1,…,m. Требуется найти такую функцию y=f(x), значения которой в точках x_i как можно более точно совпадают с y_i., т. е. y_i»f(x_i).

Для решения этой задачи используют 2 подхода. Первый основан на построении специального (интерполяционного) многочлена, значения которого совпадают в заданных точках x_i c y_i. Недостатком этого подхода является громоздкость получаемой формулы уже при достаточно небольших m.

Другой подход состоит в том, что по данным наблюдений подбирается наиболее простая формула того или иного типа, дающая наилучшее приближение к имеющимся данным. При этом нет смысла требовать точного совпадения, т.к. имеющиеся данные носят приближенный характер.

Принцип наименьших квадратов основан на том, что из заданного множества формул вида y=f(x) наилучшей является та функция, для которой сумма квадратов отклонений вычисленных значений f(x_i) от наблюдаемых значений y_i является наименьшей. Подбор параметров функции f(x), основанный на этом принципе, называют методом наименьших квадратов.

Для подбора подходящей эмпирической формулы необходимо знать, как выглядят графически математические зависимости, из которых выбирается эмпирическая формула.

Графики основных зависимостей для использования в лабораторной работе:

a) y=ax+b (линейная зависимость)

               a>0                                     a<0

            

2) y=ax²+bx+c (квадратичная зависимость)

         a>0                                       a<0

  

 

3) y=a/x+b (гиперболическая зависимость)

         a>0                                           a<0

    

4) y=ae^x+b (показательная зависимость)

       a>0                                  a<0

 

5) y=a*lnx+b (логарифмическая зависимость)

  a>0                                         a<0

6)

       a>0                                    a<0

    

7) y=a*sinx + b*cosx + c

 

8) y=a*x+ b*sinx+c*cosx

       a>0                                         a<0

     

9) y=a*arctgx +b

           a>0                                    a<0

      

10) y=a*x²/(x²+1)+b

         a>0                                       a<0

 

Варианты:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
x y -10,0 223,6 -9,2 191,9 -8,9 176,9 -7,9 141,8 -6,2 90,6 -4,9 56,5 -4,8 54,1 -4,0 37,0 -3,3 25,0 -1,8 5,7 0,0 -6,1 1,6 -6,5 1,7 -5,3 3,4 6,1 3,8 11,7 5,5 38,2 6,4 55,7 7,4 80,3 8,2 102,5 9,9 159,0	x y 0,1 -1,4 0,3 -1,0 0,5 -0,7 0,9 -0,3 1,3 0,1 1,8 0,3 2,0 0,6 2,5 0,7 2,7 0,8 3,0 1,1 3,2 1,0 3,5 1,2 4,0 1,4 4,2 1,6 4,3 1,6 4,4 1,7 4,9 1,9 5,3 2,0 5,6 2,2 5,8 2,3	x y -5,0 -10,9 -4,5 -9,2 -3,7 -6,5 -3,0 -4,7 -2,2 -2,4 -1,7 -0,3 -1,7 -0,7 -0,8 2,0 -0,5 3,2 0,1 4,9 0,9 6,8 1,2 7,7 1,4 8,6 2,3 11,2 3,1 13,8 3,2 13,6 3,2 14,4 3,3 14,6 3,9 16,3 4,1 16,4	x y -5,0 3,7 -4,5 -2,1 -4,5 -3,2 -3,9 -9,9 -3,0 -15,1 -2,6 -14,2 -2,1 -10,3 -1,2 1,0 -0,7 6,8 0,2 11,3 0,8 8,4 1,1 5,7 2,1 -6,5 2,4 -9,8 2,9 -13,9 3,0 -14,7 3,4 -15,0 3,8 -13,8 3,9 -12,9 4,2 -10,2	x y -4,0 3,2 -3,4 3,1 -3,3 3,2 -2,6 3,3 -2,0 3,2 -1,7 3,5 -1,1 3,3 -1,0 3,1 -0,2 3,3 0,6 3,3 1,4 3,5 1,4 3,9 2,3 4,3 2,3 4,1 2,5 4,4 3,0 5,1 3,0 5,2 3,1 5,5 3,5 6,5 3,9 8,2
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
x y -5,0 -9,5 -4,7 -9,7 -4,0 -9,8 -3,9 -10,2 -3,5 -10,3 -2,8 -10,7 -2,7 -10,8 -2,4 -11,0 -2,3 -11,2 -1,8 -11,3 -1,1 -13,2 -0,3 -26,8 0,6 -0,9 1,5 -5,4 2,2 -6,4 3,2 -7,2 3,5 -7,2 3,9 -7,5 4,5 -7,5 5,4 -7,9	x y -1,0 -1,2 0,7 4,5 2,1 3,7 3,2 3,6 4,1 5,9 4,9 9,6 5,8 14,0 7,7 16,9 8,8 15,9 10,6 19,2 11,4 23,2 11,8 25,3 13,5 29,7 14,1 29,4 15,7 28,6 16,1 29,1 18,0 37,5 18,8 40,6 19,1 41,5 20,5 41,8	x y -12,0 -12,8 -10,1 -12,9 -9,4 -12,6 -9,3 -12,6 -8,9 -12,8 -7,6 -12,7 -7,1 -12,5 -6,4 -12,4 -5,4 -12,5 -4,1 -12,2 -3,0 -11,7 -1,1 -10,3 -0,6 -9,0 0,6 -4,6 1,7 -2,7 2,0 -2,3 3,8 -1,5 4,1 -1,6 5,1 -1,4 6,6 -1,2	x y 0,1 -9,1 1,0 -3,8 1,6 -2,5 2,2 -1,9 3,1 -1,0 3,5 -1,0 3,7 -0,6 4,2 -0,3 4,9 0,0 5,1 -0,2 5,1 -0,2 6,0 0,5 6,6 0,7 7,3 0,8 7,4 0,6 7,5 0,8 8,2 1,1 8,9 1,2 9,3 1,1 9,7 1,3	x y 0,1 0,2 0,2 -0,1 0,4 -0,6 0,4 -0,7 0,6 -1,2 0,9 -1,8 1,2 -2,1 1,4 -2,4 1,5 -2,6 1,7 -2,9 2,1 -3,2 2,5 -3,6 2,8 -4,0 3,2 -4,2 3,5 -4,6 3,7 -4,7 3,9 -4,8 4,3 -5,1 4,7 -5,5 4,8 -5,5

 

Задание:

Открыть MS EXCEL. Скопировать один из вариантов с исходными данными на рабочий лист нового рабочей книги.

1. Построить в декартовой системе координат поле заданных точек и по графику определить вид зависимости.

2. Найти параметры зависимости, используя надстройку MS EXCEL Поиск решения.

3. Найти параметры зависимости, используя линию тренда.

 

Порядок выполнения задания 1:

· п.м. Вставка → Диаграмма

· Определить тип диаграммы: Точечная Далее

· Выделить исходные данные для построения диаграммы: ячейки со значениями х и у, установить переключатель Ряды данных в столбцах Далее

· Задать заголовок: МНК Далее

· Указать где будет расположена диаграмма – на имеющемся листе. Готово

Для приведенного примера по графику выбрали вид зависимости: квадратичная y=ax²+bx+c. Следовательно, у нас три неизвестных параметра a, b, c, которые необходимо подобрать таким образом, чтобы значение F(x,a,b) было минимальным, где .

Порядок выполнения задания 2:

1) Для нахождения неизвестных параметров a, b, c с помощью MS Excel надо сформировать следующую таблицу:

Ячейка Е1 зарезервирована под значение параметра а, ячейка F1 – под значение параметра b, ячейка G1 – под значение параметра с.

 

Для формирования целевой функции используем встроенную математическую функцию СУММКВРАЗН(массив1;массив2), в результате которой вычисляется сумма квадратов разностей двух массивов.

Формулы в ячейках:

С2: =$E$2*A2^2+$F$2*A2+$G$2 (т.к. зависимость квадратичная y=ax²+bx+c)

I2: =СУММКВРАЗН(B2:B21;C2:C21)

2) П.м. Сервис – Поиск решения:

 

3) Добавить на диаграмму ряд данных f(x).

 

Порядок выполнения задания 3:

Линия тренда – это линия регрессии, которая аппроксимирует точки данных. Чтобы дополнить ряд данных линией тренда в графике, необходимо выделить нужный ряд и выбрать команду Добавить линию тренда в меню Диаграмма. Вкладка Тип позволяет выбрать тип линии тренда. После задания типа линии тренда на вкладке Параметры задать необходимость вывода уравнения регрессии.