Экспоненциальное сглаживание - один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. В его основе лежит расчет экспоненциальных средних.
Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле
,
где - значение экспоненциальной средней в момент ;
- параметр сглаживания, = const, 0< <1; =1- .
Это выражение можно переписать следующим образом:
Экспоненциальная средняя на момент здесь выражена как экспоненциальная средняя предшествующего момента плюс доля разницы текущего наблюдения и экспоненциальной средней прошлого момента.
Величина является взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса падают экспоненциально в зависимости от давности («возраста») наблюдения. Это и объясняет, почему величина , названа экспоненциальной средней [16].
Экспоненциальная средняя , имеет тоже математическое ожидание, что и временной ряд, но меньшую дисперсию:
.
При высоком значении дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. Чем меньше , тем в большей степени сокращается дисперсия экспоненциальной средней. Следовательно, экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого в виде потока последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней. И чем меньше , тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда.
|
|
Рассмотрим ряд, генерированный моделью
где - варьирующий во времени средний уровень ряда; - случайные неавтокоррелированные отклонения, или шум, со средним значением 0 и дисперсией .
Прогнозная модель имеет вид:
Прогноз, сделанный в момент на шагов вперед оценивается по экспоненциальной средней. Новый прогноз получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки .
При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить изменения и в то же время как можно лучше «очистить» ряд от случайных колебаний.
Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением , с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшить. Как видим, эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения и составляет задачу оптимизации модели.