Экономико-математический факультет
Кафедра математического моделирования
Лабораторная работа №2
по курсу «Эконометрика»
Выполнил: студент 2 курса
специальности «Финансы и кредит»
экономико-математического факультета группы Э-22
очного отделения
Мухаметдинов И.Ф.
Проверила: ст.пр.
Файдрахманова Г.Ф.
Нефтекамск-2010
Постановка задачи
Необходимо: собрать данные (экономические показатели), должно быть не менее 15 наблюдений зависимой переменной Y и независимых переменных X1, X2, X3.
Требуется:
1. С помощью корреляционного анализа осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить:
- линейный коэффициент множественной корреляции,
- коэффициент детерминации,
- средние коэффициенты эластичности,
- бета-, дельта – коэффициенты.
Дать их интерпретацию.
4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии (F- критерий Фишера).
|
|
5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6. Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов (МНК).
7. Рассчитать и построить точечный прогноз и интервальные прогнозы результирующего показателя на два шага вперед.
8. Сделать анализ результатов.
Исходные данные: Для построения уравнения были собраны данные за 1993-2008 годы о деятельности одной из крупнейших нефтяных компаний Российской Федерации (табл. 1). Эти показатели характеризуют зависимость объема выпуска продукции (Y, млрд. руб.), от оборота капитала (X1, млрд. руб.), численности сотрудников (X2, тыс. чел.) и среднегодовой стоимости производственного оборудования (X3, млрд. руб.). Данные были взяты из сайта www.economagic.ru.
Таблица 1. Исходные данные для построения многофакторного регрессионного уравнения
Y, объем выпуска продукции (млрд.руб.), | X1, оборот капитала (млрд.руб.) | X2, численность сотрудников (тыс. чел.) | X3, среднегодовая стоимость производственного оборудования (млрд.руб.) |
633,7 | 551,2 | 120 | 325,6 |
665,7 | 577,3 | 122 | 337,1 |
707,2 | 612,2 | 122 | 352,9 |
739,7 | 645,3 | 124 | 381,2 |
781,6 | 684 | 126 | 387,1 |
830,4 | 729,9 | 129 | 393,1 |
874,6 | 775,2 | 131 | 425,6 |
926,8 | 823,6 | 133 | 453,9 |
981,6 | 879,5 | 136 | 501,8 |
1010 | 898,1 | 137 | 545 |
1048 | 929 | 122 | 596,3 |
1098,5 | 960 | 137 | 629,7 |
1127,3 | 995,2 | 141 | 687,2 |
1165,9 | 1032,9 | 142 | 726 |
1198,4 | 1059,7 | 145 | 751,8 |
Решение задачи с помощью табличного редактора Microsoft Excel
Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели
Таблица 2. Экранная форма расчетной модели
|
|
№ | y | x1 | х2 | x3 |
1 | 633,70 | 551,20 | 120,00 | 325,60 |
2 | 665,70 | 577,30 | 122,00 | 337,10 |
3 | 707,20 | 612,20 | 122,00 | 352,90 |
4 | 739,70 | 645,30 | 124,00 | 381,20 |
5 | 781,60 | 684,00 | 126,00 | 387,10 |
6 | 830,40 | 729,90 | 129,00 | 393,10 |
7 | 874,60 | 775,20 | 131,00 | 425,60 |
8 | 926,80 | 823,60 | 133,00 | 453,90 |
9 | 981,60 | 879,50 | 136,00 | 501,80 |
10 | 1010,00 | 898,10 | 137,00 | 545,00 |
11 | 1048,00 | 929,00 | 122,00 | 596,30 |
12 | 1098,50 | 960,00 | 137,00 | 629,70 |
13 | 1127,30 | 995,20 | 141,00 | 687,20 |
14 | 1165,90 | 1032,90 | 142,00 | 726,00 |
15 | 1198,40 | 1059,70 | 145,00 | 751,80 |
Сумма | 13789,40 | 12153,10 | 1967,00 | 7494,30 |
Ср. зн. | 919,29 | 810,21 | 131,13 | 499,62 |
Осуществим выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели с использованием инструмента корреляции в Excel.
Таблица 3. Результаты корреляционного анализа
| y | x1 | х2 | x3 |
y | 1 |
|
|
|
x1 | 0,999374 | 1 |
|
|
х2 | 0,869326 | 0,870444 | 1 |
|
x3 | 0,973582 | 0,968142 | 0,839736 | 1 |
В данной модели лучше оставить X1, X2, а X3 убираем хоть он и сильнее влияет на Y, чем X2. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что на зависимую переменную, т.е. на объем выпуска продукции больше влияют оборот капитала (ryx1), и численность сотрудников (ryx2).
Для построения двухфакторной регрессионной модели выбираем Х1 и Х2.
Параметры модели
Построим линейную модель регрессии с использованием инструмента регрессия в Excel.
Таблица 4. Результаты регрессионного анализа
| Коэффициенты |
Y- пересечение | 31,3374 |
x1 | 1,104648 |
x2 | -0,05367 |
Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов по формуле, используя данные, приведенные в таблице 1.
b=(ХТХ)-1ХТY
(ХтХ) =
(ХтХ)-1 =
b =
Уравнение регрессии зависимости оборотом капитала, численностью сотрудников и объемом выпускаемой продукции можно записать в следующем виде:
Y=31,3374+1,104648Х1-0,05367Х2
Оценка адекватности построенной модели
Таблица 5. Расчетная таблица для построения модели
Качество подгонки оценивается на основе таких же показателей адекватности и тех же критериев, что и в однофакторном регрессионном уравнении. Остаточная дисперсия вычисляется по формуле:
= 618,66/12=51,55.
Чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше регрессионное уравнение.
Следующий показатель качества подгонки – это коэффициент детерминации R-квадрат, на основании которого возможно сопоставление различных уравнений, т.к. он отражает долю факторной дисперсии в общей дисперсии. Чем ближе R-квадрат к 1, тем лучше связь между x и y.
=1- 618,666/494180=0,99875
Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризованы с помощью частных коэффициентов эластичности, которые вычисляются по формуле:
;
= 0,9735;
=-0,00766.
Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака остается неизменным. При увеличении оборота капитала на 1 % и неизменном значении численности сотрудников объем выпускаемой продукции увеличится на 0,97 %, а увеличение численности сотрудников при неизменном обороте капитала приведет к снижению объема выпуска на 0,007%.
На практике также используют коэффициент корреляции rxy, который показывает степень связи между переменными. В отличие от коэффициента детерминации он характеризует силу и направление линейной связи между переменными.
r =
ryx1=1,104648
ryx2=-0,05367
Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множественной регрессии можно сделать на основе расчета частных бета - коэффициентов, которые задаются формулами:
, ,
где Sx1, Sx2 и Sу – средние квадратические ошибки выборки величины х1, х2 и у соответственно.
|
|
Для данной модели = 1,001431; = -0,00236.
= 164,6514
= 7,998
= 181,621
При неизменном размере численности сотрудников увеличение оборота капитала на величину среднеквадратического отклонения объем выпуска на 1,001 ее среднеквадратического отклонения.
При неизменном обороте капитала увеличение численности сотрудников на величину среднеквадратического отклонения уменьшит объем выпуска на 0,002 ее среднеквадратического отклонения.
Дельта-коэффициент позволяет оценить долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов. Вычислим дельта - коэффициенты по формуле:
где ryxj – коэффициент парной корреляции между факторами j, где , и зависимой переменной у.
= 1,002057; =-0,00206.