При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу mi тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9.2). Положение частицы зададим радиус-вектором относительно произвольного центра 0, лежащего на оси вращения. Ri — радиус окружности, по которой движется рассматриваемая точка. Vi = w Ri — её линейная скорость.
Рис. 9.2
Рассматривая твёрдое тело как неизменную систему материальных точек, для каждой из них можно записать уравнение моментов:
. (9.1)
В левой части этого уравнения — момент внешних сил относительно оси z, действующий на частицу mi. Справа — производная по времени проекции момента импульса частицы на ту же ось.
Момент импульса частицы относительно центра 0 (по определению) равен:
.
Заметим, что для всех частиц , поэтому легко вычислить модуль этого вектора Li:
Li = miriVi = miri w Ri.
Так как образует угол a i с осью z, то проекция этого вектора на ось z равна:
= Li Cosa i = miri w Ri Cosa i = mi w Ri (ri Cosa i) = mi w . (9.2)
Учитывая этот результат, перепишем уравнение (9.1) ещё раз:
|
|
. (9.3)
Подобные уравнения могут быть составлены для всех точек твёрдого тела.