Периодические функции, используемые в электротехнике, чаще всего имеют симметрию. Одни из них симметричны относительно оси абсцисс, другие – относительно оси ординат или начала координат.
На рисунке 17.1 показан график функции, симметричной относительно оси абсцисс. Для такого графика
(17.8) | ||
При симметрии относительно оси абсцисс значения функции повторяются с обратным знаком через половину периода, поэтому кривая второго полупериода, сдвинутая влево на π, является зеркальным отображением кривой первого полупериода. В составе тригонометрического ряда функции, подчиняющейся условию (17.8), отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники. В этом нетрудно убедиться, если записать ряды вида (17.1), для функций | ||
f(ωt) и f(ωt+π):
Функция f(ωt+π) отличается от f(ωt) тем, что все нечетные гармоники имеют отрицательный знак:
Согласно условию (17.8)
Тогда
.
При любом значении это равенство возможно, если A0 =0; A2 =0; A4 =0 и т.д.
Таким образом, кривая, симметричная относительно оси абсцисс, выражается тригонометрическим рядом следующего вида:
|
|
или
Симметрию относительно оси ординат имеют кривые, у которых при изменении знака аргумента величина и знак функции не меняются (рис.17.2):
. | (17.9) |
Функция, симметричная относительно оси ординат, не содержит синусов:
(17.10) |
В этом можно убедиться без математического доказательства. Действительно, входящие в состав ряда (17.4) косинусы симметричны относительно оси ординат, а синусы несимметричны. Если функция в целом симметрична относительно оси ординат, то это возможно лишь при отсутствии синусов. Наличие же постоянной составляющей не нарушает симметрии такого вида.
Симметрия относительно начала координат (рис. 17.3) соответствует условию
. | (17.11) |
Нетрудно заметить, что в данном случае в обеих половинах периода имеются две равные по величине ординаты с разными знаками. Поэтому среднее значение функции за период, или постоянная составляющая, равно нулю. Отсутствуют и несимметричные относительно начала координат косинусоидальные составляющие.
Функция имеет только ряд синусов, обладающих симметрией такого же характера, как и функция в целом:
(17.12) |