Метод узловых потенциалов

 

Ток любой ветви может быть найден из обобщенного закона Ома по известным потенциалам крайних точек этой ветви. Но крайние точки ветви являются узлами. Следовательно, при известных потенциалах узлов, токи ветвей могут быть легко найдены.

Так как один из узлов схемы может быть заземлен и его потенциал принят равным нулю, то при наличии в схеме n узлов ей соответствует система из (n-1) уравнений:

(4.9)

В общем случае G_kk – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k; G_km – сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы k и m, взятая со знаком минус. Если между какими-либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В правой части системы стоят узловые токи. В их формировании участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС E_p p -ветви направлена к k -узлу, то ее вклад в формирование узлового тока J_kk равен E_pg_p, а если эта ЭДС направлена от k -узла, то ее вклад равен - E_pg_p. Если к k -узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в J_kk со знаком плюс, если этот ток источника тока утекает от узла, то он должен входить в J_kk со знаком минус. После решения системы (4.9) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для ветви, содержащей ЭДС (обобщенный закон Ома).

Система уравнений (4.9) может быть представлена в матричной форме записи:

[ G ][ φ ]=[ Jkk ]

(4.10)

 

;

 

.

Ее решение

(4.11)

По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей.

Рассмотрим пример. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 4.4, по заданным значениям ЭДС и сопротивлений рассчитать токи методом узловых потенциалов.

Заземляем четвертый узел, принимая его потенциал  Рассчитываем суммарные проводимости ветвей, сходящихся в узлах схемы:

;

 

 

Находим проводимости ветвей, соединяющих узлы:

 

 

Рассчитываем узловые токи:

Полученные данные подставляем в уравнения системы (4.9) и, решая систему уравнений, находим искомые потенциалы узлов  По известным значениям потенциалов узлов, используя обобщенный закон Ома, рассчитываем токи ветвей.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите пример смешанного соединения резисторов.

2. Объясните порядок сворачивания схемы со смешанным соединением к простейшей одноконтурной схеме.

3. Как заменить несколько последовательно включенных резисторов одним эквивалентным? Чему равно сопротивление эквивалентного резистора?

4. Как заменить несколько параллельно включенных резисторов одним эквивалентным? Чему равно сопротивление эквивалентного резистора?

5. Как производится замена треугольника сопротивлений эквивалентной трехлучевой звездой?

6. Как производится замена трехлучевой звезды эквивалентным треугольником сопротивлений?

7. Поясните суть метода преобразования схемы. В каких случаях целесообразно использовать этот метод?

8. В чем заключается суть метода контурных токов?

9. Поясните структуру уравнений, записанных по методу контурных токов?

10. В чем преимущество метода контурных токов по сравнению с непосредственным использованием законов Кирхгофа?

11. Поясните правило замены нескольких параллельных ветвей, содержащих источники, одной эквивалентной ветвью.

12. Как определяются знаки слагаемых в числителе формулы для расчета эквивалентной ЭДС?

13. В чем суть метода узлового напряжения?

14. В каких случаях можно применять метод узлового напряжения?

15. Как рассчитывается узловое напряжение?

16. Какие величины являются искомыми в методе узловых потенциалов?

17. Сколько уравнений необходимо составить при расчете токов ветвей при наличии в схеме n узлов и почему?

18. Как выражаются токи ветвей через потенциалы узлов?