Корректирующие устройства

ЛЕКЦИЯ № 13

5.4.АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

При проектировании и анализе точности САУ рассматриваются ошибки при типовых задающих воздействиях с учетом порядка астатизма систем [39].

Приближенно порядок астатизма n определяется наибольшей степенью переменной в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы.

Рассмотрим три типа задающих воздействий:

1. х_{З 1}= А ₀×1(t) - постоянное входное воздействие.

Тогда .

Это означает, что,

если n =0, следовательно, система статическая, то ошибка будет равна , - постоянная,

а если n =1(астатизм 1-го порядка), то ошибка - , значит данная система  отрабатывает с входное воздействие с нулевой ошибкой.

Т.о. при порядке астатизма системы n ³1, система при данном возмущающем воздействии является астатической.

2. х_{З 1}= А₀ × t ×1(t) – линейно изменяющееся входное воздействие.

 

Тогда

Это означает, что,

если n =0, то ошибка будет равна , следовательно, система находится в неопределенном состоянии;

если n =1(астатизм 1-го порядка), то ошибка - , значит данная система отрабатывает с входное воздействие с постоянной установившейся ошибкой.

а если n =2, то ошибка равна , что говорит об астатичности данной системы.

Т.о. при линейном изменяющемся задающем воздействии, система будет статической при порядке астатизма системы n =1, а при n ³2 – система является астатической.

3. х _{З 1}= А ₀× t ²×1(t) нелинейное входное воздействие.

Тогда .

Это означает, что:

если n =0, то ошибка будет равна , следовательно, система находится в неопределенном состоянии;

если n =1, система находится в неопределенном состоянии, т.к. ошибка -    стремится к бесконечности.

если же n =2, то ошибка равна , значит данная система статическая;

если n =3, то ошибка равна  - в этом случае система является астатической.

Как видим, порядок астатизма системы также влияет на точность системы. Чем выше астатизм, тем точнее система отрабатывает более сложные воздействия. Однако с увеличением порядка астатизма системы ее устойчивость ухудшается. Поэтому системы САУ с порядком астатизма более двух встречаются редко.

Рассмотрим теперь установившийся режим системы управления [43] при изменении задающего воздействия по гармоническому закону

g(t) = g_msinωt.

Для упрощения предположим, что возмущающее воздействие равно нулю. В линейной системе ошибка в установившемся режиме также изменяется по гармоническому закону с той же частотой:

x(t) = x_msin(ωt+ψ).

Точность системы в этом режиме оценивается по величине амплитуды ошибки. Амплитудные значения связаны между собой модулем частотной передаточной функции замкнутой системы, то есть можно записать

x_m = │Ф_xg (jω)│ g_m или

 

Систему всегда проектируют таким образом, чтобы величина ошибки была меньше задающего воздействия, т.е. выполняется условие W(jω)>>1. В связи с этим единицей в знаменателе приведенной выше формулы можно пренебречь. Таким образом, амплитуда ошибки определяется как

x_m = g_m/ A(ω)                                                 (6.15)

где A(ω) - модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы.

 

На ошибку, обусловленную возмущающим воздействием влияет только астатизм регулятора.

Ошибка при возмущающем воздействии обратно пропорциональна коэффициенту передачи системы

δ_f =1/k.

Если система работает на отслеживание ошибки, обусловленное задающим воздействием, то такая система называется системой стабилизации.

Если система работает на отслеживание ошибки, обусловленное возмущающим воздействием, то такая система называется следящей системой.

5.5. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

2. Построение желаемой ЛАХ L_ж(ω). Желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика формируется исходя из заданных требований к системе по точности и качеству переходного процесса. Точность задается значениями установившихся ошибок, а качество переходного процесса – величиной перерегулирования и временем регулирования.

Построение желаемой ЛАХ производится по частям.

Как и всякая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ЛАЧХ желаемой системы состоит из трех частей – низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной [43].

Низкочастотная часть желаемой ЛАХ формируется из условия обеспечения требуемой точности работы системы управления в установившемся режиме, то есть определяется коэффициентом передачи разомкнутой системы k_общ и степенью астатизма ν.

В системах управления величина установившейся ошибки δ зависит от общего коэффициента передачи разомкнутой системы k_общ и вида задающего воздействия g. Требования точности для разных систем формулируются по разному.

Так установившаяся ошибка:

для статических систем          e_g(∞) = 1/(1+ k_oбщ),

для систем стабилизации    e_g(∞) = g₀/(1+ k_oбщ),

для следящих систем        e_g(∞) = g₀/k_oбщ.

Начальный отрезок низкочастотной части желаемой ЛАХ проводится от минимальных частот до первого сопряжения, асимптота должна иметь наклон −20· ν дБ/дек (здесь ν= степень астатизма системы) и проходить не ниже точки с координатами: ω=1 c^-1, L(1)=20lg k_oбщ [дБ], или для следящих систем

L(1)=20lg g₀/ e_g, с абсциссой равной lg (ω₁).

 

Рис.6.2. Желаемая ЛАХ [59]

 

Если желаемая ЛАЧХ проходит ниже этой точки, то точность не отвечает (хуже) заданной и надо увеличивать коэффициент усиления.

 

Среднечастотный участок желаемой ЛАХ строится из условия обеспечения основных показателей качества переходного процесса - перерегулирования и времени регулирования. Это достигается тем, что среднечастотный участок желаемой ЛАХ (рис.6.2) имеет наклон −20 дб/дек, что установлено рядом исследований, и пересекает ось частот на частоте среза ω_с, которая определяется по номограмме В.В.Солодовникова (рис.6.4а), исходя из заданных значений величины перерегулирования σ и времени регулирования t_р.

 

 

                       а)                                                           б)

 

Рис. 6.4. Номограмма В.В.Солодовникова

 

По номограмме (рис.6.4,а), отложив заданную величину σ (например, 25%), определяем величину t_р (как показано стрелками), например,

t_р= 2,8π/ω_c

Поскольку требуемое значение t_р задается, можно вычислить и указать на оси абсцисс необходимую частоту среза

ω_c = 2,8 π/ t_р

Протяженность среднечастотного участка определяется номограммой (рис.6.4,б), устанавливающей связь между показателями качества и запасами устойчивости. Так, например, для обеспечения σ=25% требуется запас устойчивости по модулю L_h=20дб и по фазе μ=58⁰. Среднечастотный участок проводится с наклоном −20 дБ/дек влево и вправо от частоты среза ω_с до достижения модулей, равных L_h и −L_h. (рис.8.8)

 

Рис. 8.8. Среднечастотный участок желаемой ЛАХ

 

После этого участки средних и низких частот сопрягаются прямой с наклоном −40 или −60дБ/дек, как удобнее.

Высокочастотный участок желаемой ЛАХ содержит высокие гармоники и слабо влияет на переходный процесс в системе, поэтому его вид может быть достаточно произвольным. Для большей простоты корректирующего устройства высокочастотный участок желаемой САУ делают либо совпадающим с таким же участком исходной ЛАЧХ, либо проводят параллельно ему.

Сопряжение среднечастотного и высокочастотного участков желаемой ЛАЧХ производят отрезком прямой с наклоном (- 40÷- 60) дБ/дек, исходящим из конца среднечастотного участка и продолжающимся до пересечения с высокочастотным.

 

Т.О.По ЛАЧХ САУ можно сделать выводы:

1. Низких частот (w<w_с). Данный диапазон частот отражает статические характеристики.

Низкочастотный участок системы определяет точность САУ. Требуемый для обеспечения в данном примере точности  коэффициент усиления к _тр определяется по формуле

Вид ЛАЧХ разомкнутой цепи САУ в низкочастотной области характеризует показатели установившихся режимов работы замкнутой САУ (точность, порядок астатизма).

2. Диапазон средних частот (определяется значением частоты среза w»w_с). Определяет динамические характеристики объекта при ступенчатом входном воздействии.

Вид ЛАЧХ и ЛФЧХ в области частоты среза характеризует качество переходного процесса (быстродействие, перерегулирование).

Практикой установлено, что для удовлетворительного качества регулирования участок средних частот, на котором ЛАЧХ пересекает ось абсцисс, должен имеет наклон минус 20 дБ/декаду.

Протяженность этого участка влияет и на на перерегулирование. С его увеличением уменьшается колебательность переходного процесса. Можно также сказать, что заданный показатель колебательности системы определяет протяженность участка с наклоном минус 20 дБ/декаду среднечастотной части ЛАХ.

Приемлемое качество переходного процесса имеет место, если протяженность этого участка определяется допустимой величиной перерегулирования и примерно равна декаде.

Время регулирования t_p зависит от частоты среза, при которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс. Чем больше частота среза, тем меньше t_p.

t_р»p /w_с.

Необходимо помнить, что время регулирования и перерегулирование тесно связаны между собой обратной зависимостью.

Увеличение протяженности диапазона средних частот также приводит к увеличению запаса устойчивости по фазе и позволяет достичь величины p /2.

 

3. Диапазон высоких частот (w>w_с). Данный диапазон частот не влияет на статику, а определяет динамические характеристики объекта при быстроизменяющемся входном воздействии.

Вид ЛАЧХ и ЛФЧХ в области высоких частот характеризует запас устойчивости по модулю.

 

5.6. СПОСОБЫ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА САУ

Под улучшением качества процесса управления понимается [43] изменение динамических свойств системы с целью обеспечения требуемых показателей качества, главными из которых являются устойчивость, точность и быстродействие. Это достигается двумя путями.

Во-первых, настройкой регулятора. Настройка регулятора заключается в рациональном изменении его параметров, то есть коэффициентов передачи и постоянных времени так, чтобы удовлетворить поставленным требованиям качества управления, которые определяются критериями качества.

Во-вторых, введением корректирующих устройств. При невозможности решить задачу получения требуемого качества процесса управления в рамках имеющейся системы путем изменения ее параметров изменяют структуру системы. Для этой цели в систему вводят корректирующие средства, которые должны изменить динамику системы в нужном направлении. Корректирующие средства представляют собой динамические звенья с определенными передаточными функциями. Корректирующие звенья изменяют передаточную функцию регулятора системы, и таким образом обеспечивается формирование необходимого закона управления для удовлетворения поставленных требований к системе.

Регулятор формирует управляющее воздействие u(t) в соответствии с законом управления. Линейный стандартный закон управления имеет следующий вид:

                                                           t

u(t) = k_Пx(t) + k_И∫x(t)dt + k_Д dx(t)/ dt,                                    (8.3)

                                                           0

где первое слагаемое является пропорциональной, второе - интегральной, третье -дифференциальной составляющими закона, а коэффициенты k_П, k_И и k_Д определяют вклад каждой из составляющих в формируемое управляющее воздействие.

Интегральная составляющая закона управления вводится для повышения точности, а дифференциальная - для повышения быстродействия работы системы.

Регулятор, формирующий управляющее воздействие в соответствии с (8.3), имеет передаточную функцию

W_R(s) = k_П + k_И/s + k_Дs.                                             (8.4)

Настройка такого регулятора заключается в задании значений коэффициентов k_П, k_И, k_Д таким образом, чтобы удовлетворить требованиям качества управления в соответствии с выбранными критериями качества.

На практике широкое распространение получили типовые или промышленные регуляторы, представляющие собой универсальные автоматические устройства, легко приспосабливаемые для автоматизации разнообразных технологических процессов и объектов. При этом объект управления, как правило, является звеном статического типа и его передаточная функция равна

W_ОУ(0)=k_ОУ,

где k_ОУ - коэффициент передачи объекта управления.

Типовые регуляторы реализуют типовые законы управления, являющиеся частными случаями линейного стандартного закона управления, и классифицируются следующим образом.

П-регуляторы. Реализуют П-закон или пропорциональный закон управления

u(t) = k_П x(t).

Передаточная функция П-регулятора

W_R(s) = k_П.

Пропорциональное управление позволяет уменьшить установившуюся ошибку в объекте в (1+k) раз, где k = k_П×k_ОУ − коэффициент передачи разомкнутой системы.

И-регуляторы. Реализуют И-закон или интегральный закон управления

                                                                               t

u(t) = k_И∫x(t)dt.

                                                                               0

Передаточная функция И-регулятора

W_R (s) = k_И /s.

При интегральном управлении получается система, астатическая по отношению к задающему воздействию. Повышение степени астатизма приводит к увеличению установившейся точности системы, но одновременно снижает ее быстродействие, а также приводит к ухудшению устойчивости. Снижение быстродействия объясняется тем, что в первый момент времени при появлении ошибки управляющее воздействие равняется нулю и только затем начинается его рост. В системе пропорционального управления рост управляющего воздействия в первые моменты времени происходит более интенсивно, так как наличие ошибки сразу дает появление управляющего воздействия, в то время как в системе интегрального управления должно пройти некоторое время.

ПИ-регуляторы. Реализуют ПИ-закон или пропорционально-интегральный закон управления

                                                                              t

u(t) = k_П x(t) + k_И∫x(t)dt.

                                                                                                0

Передаточная функция ПИ-регулятора

W_R(s) = k_П + k_И /s = k_И (T_Иs+1)/ s,

где T_И = k_П/ k_И.

Пропорционально-интегральное (изодромное) управление сочетает в себе высокую точность интегрального управления (астатизм) с большим быстродействием пропорционального управления. В первые моменты времени при появлении ошибки система с ПИ-регулятором работает как система пропорционального регулирования, а в дальнейшем начинает работать как система интегрального управления.

ПД-регуляторы. Реализуют ПД-закон или пропорционально-дифференциальный закон управления

u(t) = k_П x(t) + k_Д dx(t)/dt.

Передаточная функция ПД-регулятора

W_R (s) = k_П + k_Дs = k_П(T_Дs + 1),

где T_Д = k_Д/ k_П.

Пропорционально-дифференциальное управление применяются для повышения быстродействия работы системы. Регулирование по производной не имеет самостоятельного значения, так как в установившемся состоянии производная от ошибки равна нулю и управление прекращается. Однако она играет большую роль в переходных процессах, потому что позволяет учитывать тенденцию к росту или уменьшению ошибки. В результате увеличивается скорость реакции системы, повышается быстродействие, снижается ошибка в динамике.

ПИД-регуляторы. Реализуют ПИД-закон или пропорционально-интегрально-дифференциальный закон управления, соответствующий линейному стандартному закону вида (8.3).

ПИД-регулятор, представляющий собой астатический изодромный регулятор с предвидением, обеспечивает повышенную точность и повышенное быстродействие системы.

В общем случае закон управления может иметь сложный вид.

   

Корректирующие устройства

Основная задача корректирующих устройств состоит в улучшении точности системы и качества переходных процессов. Однако наряду с этим путем дополнительного введения в систему корректирующих устройств решается более общая задача - обеспечение устойчивости системы, если она была неустойчивой, а затем и желаемого качества процесса управления.

Различают три вида основных корректирующих устройств.

Последовательные корректирующие устройства. Они вводятся в цепь регулятора последовательно с другими звеньями. На рис.8.2 представлена структурная схема системы с последовательным корректирующим устройством.

 

Рис. 8.2. Структурная схема системы

с последовательным корректирующим устройством

Здесь W₁(s), W₂(s) представляют собой передаточные функции заданных частей регулятора, W_ПКУ(s) - передаточная функция последовательного корректирующего звена, W_ОУ(s) - передаточная функция объекта управления.

 

Передаточная функция регулятора с последовательным корректирующим устройством

W_R1(s) = W₁(s) W₂(s) W_ПКУ(s).                                   (8.5)

Способ коррекции с помощью последовательного корректирующего устройства не требует сложных расчетов и прост в практическом исполнении. Поэтому он нашел широкое применение, особенно при коррекции систем, в которых используется электрический сигнал в виде напряжения постоянного тока, величина которого функционально связана с сигналом рассогласования. Однако, последовательные корректирующие устройства не ослабляют влияния изменений параметров элементом системы на ее показатели качества. Поэтому последовательные корректирующие устройства рекомендуется применять в системах, в которых элементы имеют достаточно стабильные параметры.

Параллельные корректирующие устройства. Они вводятся в цепь регулятора параллельно с другими звеньями. На рис.8.3 представлена структурная схема системы с параллельным корректирующим устройством.

Рис.8.3. Структурная схема системы

с параллельным корректирующим устройством

Здесь W₁(s), W₂(s) представляют собой передаточные функции заданных частей регулятора, - передаточная функция параллельного корректирующего звена, W_ОУ(s) - передаточная функция объекта управления.

Передаточная функция регулятора с параллельным корректирующим устройством

W_R2(s)=W₁(s)[W₂(s)+ ].                                    (8.6)

Коррекция систем управления с помощью параллельного корректирующего устройства эффективна, когда требуется формировать сложные законы управления с введением производных и интегралов от сигнала ошибки. Примером этому могут служить ранее рассмотренные типовые регуляторы.

Обратные связи. Они вводятся в цепь регулятора и охватывают какие-либо его звенья. Обратные связи могут быть положительными (ПОС) и отрицательными (ООС), кроме того - жесткими и гибкими.

На рис.8.4 представлена структурная схема системы с корректирующей обратной связью. Здесь W1(s), W2(s) представляют собой передаточные функции заданных частей регулятора, WОС(s) - передаточная функция корректирующей обратной связи, WОУ(s) - передаточная функция объекта управления.

Рис.8.4. Структурная схема системы с корректирующей обратной связью

Передаточная функция регулятора с корректирующей обратной связью

 

W_R3(s) = W₁(s) W₂(s)/ 1+ W₂(s) W_ОС (s),                             (8.7)

где знак “+” соответствует ООС, знак “−” - ПОС.

Коррекция местной обратной связью используется в системах автоматического управления наиболее часто. Корректирующая обратная связь образует в системе внутренний контур помимо контура, образуемого главной обратной связью. В подавляющем большинстве случаев используются отрицательные корректирующие обратные связи, однако могут применяться также и положительные обратные связи, например в комбинированных системах с компенсацией динамических ошибок. Отрицательная корректирующая обратная связь позволяет существенно ослаблять влияние изменения параметров элементов и их нелинейностей, входящих в местный контур. Поэтому местной обратной связью желательно охватывать те элементы корректируемой системы, которые в процессе работы могут изменять свои параметры и имеют высокие значения коэффициентов передачи.

К другим способам повышения качества САУ можно отнести:

Общие методы повышения точности работы систем управления [43]:

1) увеличение общего коэффициента передачи разомкнутой системы;

2) применение управления по производным от ошибки;

3) повышение степени астатизма.

Увеличение общего коэффициента передачи k разомкнутой цепи является универсальным и эффективным методом повышения точности и быстродействия системы. При этом уменьшаются все виды установившихся ошибок системы. Увеличение k осуществляется последовательным введением усилительного звена в прямую цепь системы. Иногда это достигается путем повышения коэффициентов передачи отдельных звеньев. Однако увеличение общего коэффициента передачи ограничивается устойчивостью системы. В этом сказывается противоречие между требованиями к точности и устойчивости системы. Поэтому увеличение общего коэффициента передачи до значения, при котором обеспечивается требование к точности системы, может производиться при одновременном повышении запаса устойчивости с помощью введения корректирующих устройств.

Введение управления по производным от ошибок. Это простейший метод улучшения качества работы системы. Технически это реализуется различными дифференцирующими звеньями.

Улучшение переходных процессов обычно достигается введением в прямую цепь дифференцирующих звеньев, что позволяет реализовать работу САУ с прогнозом. Введение дифференцирующих звеньев в систему добавляет положительную фазу и, следовательно, повышает запас устойчивости системы по фазе, что дает возможность увеличить общий коэффициент передачи k и тем самым улучшить точность управления. Последовательное включение в цепь САУ дифференцирующих элементов (опережающих по фазе) позволяет ускорить протекание переходного процесса

Введение интеграла от ошибки является методом создания или повышения степени астатизма системы управления, а значит, и увеличения ее точности. Физически повышение степени астатизма достигается за счет введения в систему управления интегрирующих звеньев. Последовательное включение в цепь САУ интегрирующего элемента (отстающего по фазе) позволяет снизить установившуюся ошибку.

Однако включение каждого интегратора в прямую цепь системы вносит отрицательный фазовый сдвиг −90⁰, ухудшая тем самым устойчивость и качество переходного процесса.

В случае введения двойного интеграла система становится структурно неустойчивой (неустойчивой при любых значениях параметров).

Таким образом, повышение степени астатизма неблагоприятно сказывается на устойчивости и качестве переходного процесса системы. Поэтому одновременно с повышением степени астатизма в системе приходится использовать корректирующие устройства.

Используя последовательную интегро-дифференцирующую цепь можно значительно повысить коэффициент усиления системы и увеличить ее частоту среза, а следовательно повысить точность системы в установившемся и переходном режимах.

Устойчивость и необходимый запас устойчивости обычно обеспечиваются введением форсирующего звена, при этом увеличивается быстродействие системы, но вместе с тем увеличивается и влияние помех.

Другой путь обеспечения устойчивости – использование демпфирования с подавлением высоких частот. Для этого вводится апериодическое звено с постоянной времени значительно большей постоянных времени апериодических звеньев разомкнутой системы.

Для получения астатизма системы используются изодромные звенья. При большой постоянной времени изодрома запас устойчивости практически сохраняется без изменения.

 

Контрольные вопросы к лекции 13

 

1. Анализ точности систем управления.

2. Анализ качества с САУ использованием частотных характеристик.

3. Пути повышения качества САУ.

4. Улучшение точности системы и качества переходных процессов применением корректирующих устройств.