Якщо задано закон , згідно з яким кожному значенню , яке належить множині , відповідає певне значення , то кажуть, що задана однозначна функція , яка визначена на та набуває значень в . Якщо значенню відповідає декілька значень , то функція є багатозначною.
Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді
,
де та – функції дійсних змінних та .
Існування границі функції комплексної змінної еквівалентне одночасному існуванню границь дійсної та уявної частин та . Аналогічно неперервність функції у точці еквівалентна неперервності функцій та у точці .
Функція, неперервна у кожній точці області , називається неперервною у цій області.
Елементарні функції комплексної змінної. Введемо показникову функцію комплексної змінної за правилом
.
Тригонометричні та гіперболічні функції зв’язані з показниковою співвідношеннями
; ; ; ;
.; .
Функції, які введені за цими формулами, по-перше, для дійсних значень аргумента співпадають з відповідними функціями дійсної змінної, та, по-друге, зберігають всі властивості функцій дійсної змінної.
|
|
Також є очевидними властивості
; ; ; .
Функції , , , визначають як обернені до функцій , , , відповідно. Зокрема,
, ,
а головне значення логарифмічної функції визначається як
(величина є функцією дійсного аргументу).