Образуем из событий и с помощью операций дополнения и пересечения следующие четыре события:
. (8.1)
Система четырех событий (8.1) является полной группой несовместных событий. Действительно, пересечение любых двух событий из этой системы является невозможным событием. Например, пересечение первого и второго событий: . Таким образом, первое и второе события в (8.1) несовместны. Аналогично можно показать несовместность двух любых событий из (8.1). Теперь рассмотрим объединение всех событий системы (8.1):
где - достоверное событие. Поскольку (8.1) полная группа несовместных событий, то в каждом опыте происходит одно и только одно событие из возможных четырех событий (8.1).
Пусть эксперимент выполнялся раз, и в качестве его исхода событие наблюдалось раз, событие наблюдалось раз, событие - раз и событие - раз. Очевидно,
. (8.2)
Частоты появления событий (8.1) определяются соотношениями:
. (8.3)
Рассмотрим объединение первого и второго событий (8.1):
. Поэтому частота
. (8.4)
Аналогично и частота события имеет вид:
. (8.5)
Теперь рассмотрим объединение первых трех событий системы (8.1):
. (8.6)
Отсюда:
. (8.7)
Сравнивая (8.3) - (8.5), (8.7), получаем равенство:
, (8.8)
которое представляет собой формулу (или теорему) сложения частот.
Отсюда следует, что в аксиомах теории вероятностей должна быть определена формула сложения вероятностей, аналогичная соотношению (8.8):
. (8.9)
Если события и несовместны, то =0 и формула сложения вероятностей принимает вид:
. (8.10)