Число , для которого (21.4) достигает максимального значения, называется наивероятнейшим числом в распределении Бернулли. Очевидно, наивероятнейшее число определяется двумя условиями:
, (22.1)
. (22.2)
Для нахождения числа решим систему двух неравенств (22.1), (22.2) относительно . Подставим в первое неравенство формулу (21.4), тогда
. (22.3)
После сокращения в левой части неравенство принимает вид:
,
откуда или
. (22.4)
Аналогично решим второе неравенство:
. (22.5)
После сокращения
,
откуда или . Что сводится к выражению:
. (22.6)
Таким образом, наивероятнейшее число в распределении Бернулли определяется двумя условиями (22.4) и (22.6):
. (22.7)
По условию задачи число – целое по условию задачи и лежит в единичном интервале (22.7). Поэтому решение (22.7) может быть единственным, если – дробное число. Это реализуется в примере с бросанием монеты, где , , тогда . В соответствии с (22.7) , поэтому существует единственное наивероятнейшее число , что иллюстрирует график, представленный на рис.21.1.
|
|
Возможна иная ситуация, если – целое число. Тогда единичный интервал (22.7) содержит два целых числа, следовательно, имеется два наивероятнейших числа в распределении Бернулли. Эту ситуацию можно рассмотреть также на примере с бросанием монеты. Пусть , тогда , следовательно (22.7) имеет вид: , то есть имеется два наивероятнейших числа и . При этом и график имеет плоскую вершину.