Раздел 1. Понятие случайного процесса. Случайный процесс как математический объект

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ»

Группы ЭМ-51, МЭ-51

2011/2012 учебный год, зимняя экзаменационная сессия

Лектор – доцент Шнурков П.В.

Раздел 1. Понятие случайного процесса. Случайный процесс как математический объект.

1. Понятие случайного процесса. Стохастическая модель изменяющейся во времени (динамической) системы. Первый подход к определению случайного процесса (аналитическое определение).
Идейная основа первого подхода. Случайный процесс как функция двух переменных величин различной природы. Траектория (выборочная функция) случайного процесса. Траектория как математическая конструкция и как реальное проявление случайного процесса.

2. Классификация случайных процессов по характеру множества значений параметра времени T и множества состояний X.

3. Конечномерные распределения случайных процессов и их основные свойства.

4. Системы подмножеств заданного множества. Понятия алгебры и сигма-алгебры множеств. Измеримое пространство.

5. Вероятностное пространство и вероятностная мера. Множество элементарных исходов случайного эксперимента. Система случайных событий, связанных с данным экспериментом, как сигма-алгебра подмножеств множества элементарных исходов. Вероятностная мера. Аксиомы Колмогорова. Общее понятие вероятностного пространства.

6. Случайная величина как измеримая функция, заданная на вероятностном пространстве (формальное определение). Понятие измеримого отображения и его смысл для стохастической модели.

7. Выборочное вероятностное пространство, или пространство траекторий (схема построения). Алгебра цилиндрических множеств. Сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами. Вероятностная мера, задаваемая на указанной сигма- алгебре.

8. Продолжение вероятностной меры с алгебры на сигма-алгебру, порожденную данной алгеброй. Теорема Каратеодори и ее значение.

9. Второй подход к определению случайного процесса (аксиоматическое определение). Идея второго подхода. Формальное определение случайного процесса как измеримого отображения. Общее значение аксиоматического определения для построения теории случайного процесса.

10. Система согласованных вероятностных мер (определение). Теорема Колмогорова о системе согласованных вероятностных мер (формулировка). Особенности теоремы Колмогорова и ее теоретическое значение.

11. Схема доказательства теоремы Колмогорова. Построение вероятностного пространства и случайного процесса с заданной системой конечномерных распределений.

12. Стохастическая эквивалентность случайных процессов. Понятие модификации и его значение. Сравнительные свойства стохастически эквивалентных процессов (анализ на основе теоретического примера).

13. Фундаментальные проблемы теории Колмогорова, связанные с различиями свойств траекторий стохастически эквивалентных случайных процессов. Общая схема построения модели случайного процесса с заданными аналитическими свойствами траекторий, отражающими объективно существующие особенности реальной системы.

14. Различные понятия непрерывности случайного процесса. Непрерывность случайного процесса с вероятностью, равной единице, в любой фиксированный момент времени  и непрерывность траекторий процесса «в целом» с вероятностью, равной единице. Соотношение между данными видами стохастической непрерывности и его значение для описания свойств случайного процесса.

15. Различные понятия недифференцируемости случайного процесса. Недифференцируемость случайного процесса с вероятностью, равной единице, в любой фиксированный момент времени  и недифференцируемость траекторий процесса «в целом» с вероятностью, равной единице. Соотношение между данными видами стохастических свойств.

16. Понятие модификации случайного процесса, обладающей заданными аналитическими свойствами траекторий. Примеры модификаций с различными свойствами траекторий.

17. Непрерывная модификация случайного процесса. Теорема Колмогорова о достаточных условиях существования непрерывной модификации (без доказательства). Теоретическое значение данного утверждения.

18. Аксиоматическое построение модели случайного процесса на основе заданной системы согласованных вероятностных мер.
Теоретическое значение данного формального построения для развития теории случайных процессов.