В связи с производными вида (7.3)конечные разности обладают свойствами:
1. постоянные, равны нулю;
2. постоянный множитель у функции выносится за знак
3. суммы 2-х функций равны сумме каждой функции
4. полинома n-ой степени, n-го порядка постоянны и равны
∆ny=hnann!
an-коэффициент при xn полинома Rn(x)
Верно и обратное утверждение: все конечные разности n-го порядка некоторой функции постоянны и одинаковы, конечные разности n +1-го порядка равны 0, а конечные разности n-1-го порядка различны, то функция представляет собой полином n-ой степени.
Распространение ошибки в исходных данных при вычислении конечные разности
Любые измерения несут в себе погрешность (ошибка округления, точность измерения приборов)
Пусть значения функции определены в узлах x0, и в некоторой точке xk значение некоторой точке xk значение функции найдено с ошибкой ε, т.е ỹk+ ε
Составим таблицу конечных разностей
xk-2 yk-2 ∆yk-2 ∆2yk-2 ∆3yk-3 + ε
xk-1 yk-1 ∆yk-1 + ε ∆2yk-2 + ε ∆3yk-2 -3 ε
xk yk+ε ∆yk-1 - ε ∆2yk-1 - 2 ε ∆3yk-1 + 3 ε
xk+1 yk+1 ∆yk+1 ∆2yk+ ε ∆3yk- ε
xk+2 yk+2 ∆2yk+1
Как видно из таблицы конечных разностей при увеличении порядка конечных разностей ошибка в исходных данных распространяется и растет.
Такое взаимодействие ошибок называют шумом, если это ошибки округлений - то шумом округлений.
Если ошибки округлений достаточно большие, то может происходить следующее явление: при увеличении порядка конечных разностей они могут уменьшаться и→0, но, дойдя до некоторого малого значения, опять могут начать расти из-за шума округлений.
Столбец в таблице конечных разностей, в которой все конечные разности ≈0, называют «практическим постоянным»; при этом конечные разности высших порядков не используют.
Для интерполяции целесообразно использовать многочлен такой степени, которая совпадает с порядком «практической постоянной» конечных разностей.
ЛЕКЦИЯ №8