.
Пусть . Выясним, при каких значениях выполняется неравенство , то есть решим неравенство
.
Пусть , тогда рассмотрим неравенство
.
Ответ: Если или , то данное уравнение корней не имеет.
Если , то уравнение имеет единственный корень .
Если , то уравнение имеет два корня .
В данном случае оба решения равноценны, можно решать любым способом. Зато уже в следующем примере решение с помощью тригонометрической подстановки проще.
Пример 2. При каких а неравенство
имеет решение [13].
Неравенство имеет решение при а большем наименьшего значения выражения .
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим , тогда
, где .
Оценим выражение
.
Наименьшее значение выражения равно . Значит, при неравенство имеет решение.
Ответ: при неравенство имеет решение.
Алгебраическое решение
Если , то неравенство примет вид
.
Значит, при неравенство имеет решение.
Поделим числитель и знаменатель на , получим
.
Введем замену , тогда
.
Найдем наименьшее значение выражения .
|
|
.
То есть наименьшее значение выражения равно . Тогда наименьшее значение выражения , а значит наименьшее значение выражения равно .
Ответ: при неравенство имеет решение.
Для данного задания самый удобный метод решения – решение с помощью тригонометрической подстановки. Во втором случае возникает проблема с тем, чтобы найти наименьшее значение выражения . Если учащиеся умеют находить наименьшее значение функции с помощью производной, то выполнив все вычисления и проведя исследование, они справятся с задачей. Если подобное задание решать до изучения производной, то могут возникнуть трудности с определением наименьшего значения. В работе предложен прием сведения к уравнению с параметром, подробно описанный в предыдущем параграфе.
Глава 3
Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач»