Раздел 4. Временные ряды

8 9 10 11 12 13 14

Тема 4.1. Характеристики временных рядов (1 занятие)

Вопросы для изучения

1. Понятие временного ряда и его основные компоненты. Выявление тенденции временного ряда.

2. Аналитическое выравнивание ряда.

3. Автокорреляция уровней ряда. Автокорреляционная функция. Коррелограмма.

Контрольные вопросы

1. В чем особенность временного ряда?

2. Назовите основные компоненты уровней временного ряда?

3. В чем состоит основная задача эконометрического исследования временного ряда?

4. Как определяется автокорреляция остатков во временных рядах?

5. Как рассчитывается коэффициент автокорреляции уровней 1 порядка и как его интерпретируют?

6. Назовите свойства коэффициента автокорреляции.

7. Как определяется автокорреляционная функция?

8. Что такое коррелограмма?

9. Что выявляют при помощи анализа коррелограммы?

10. Как сформулировать вывод о структуре временного ряда?

11. Назовите методы выявления основной тенденции ряда.

12. В чем суть сглаживания временных рядов?

13. Что такое аналитическое выравнивание временного ряда?

14. Назовите приемы выявления типа тенденции ряда.

15. Какие функции могут использоваться для построения тренда?

Практические задания

Задача 1. В таблице приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар (ус. ед.) за восемь лет (табл. 4.1):

Таблица 4.1

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос,	213	171	291	309	317	362	351	361

Задание:

Найти среднее значение спроса, его среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции для лагов =1 и =2.

Задача 2. Спрос на некоторый товар А за десятилетний период приведен в таблице (табл.4.2):

Таблица 4.2

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Спрос,	5,8	7,5	6,4	7,4	10,4	8,8	12,5	10,1	14,8	17,6

Задание:

1) определить значение коэффициента автокорреляции первого и второго порядка;

2) выровнять ряд методом скользящих средних с интервалом сглаживания m=3 года и m=4 года.

Задача 3. Имеются следующие данные об урожайности зерновых культур (ц/га) за 10 лет (табл.4.3):

Таблица 4.3

Год	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
	15	13	15	16	18	17	16	19	17	20

Задание:

Найти скользящую среднюю за трехлетний и четырехлетний период.

Задача 4. По данным за 30 месяцев некоторого временного ряда были получены значения коэффициенты автокорреляции для следующих лагов: 0,63; 0,38; 0,72; 0,97; 0,55; 0,40; 0,65.

Задание:

1) охарактеризовать структуру этого ряда, используя коэффициенты автокорреляции и графическое изображение ряда;

2) построить кореллограмму ряда.

Задача 5. Пусть имеется следующий фрагмент временного ряда (табл. 4.4):

Таблица 4.4

	1	2	3	4	5	6	7	8
	20	.	.	.	.	.	.	10

Известно также 150; 8100; 7350.

Задание: определить коэффициент автокорреляции уровней ряда для лагов =1 и =2.

Задача 6. Имеются следующие данные об уровне безработицы (%) за 8 месяцев (табл. 4.5):

Таблица 4.5

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8
	8,8	8,6	8,4	8,1	7,9	7,6	7,4	7,0

Задание:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда этого ряда и определить его параметры.

Задача 7. Имеются данные об урожайности пшеницы (ц/га) за 10 лет (табл. 4.6):

Таблица 4.6

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	16,3	20,2	17,1	7,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7

Задание: выполнить аналитическое выравнивание ряда в виде линейного тренда.

Задача 8. Данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения за восемь лет, приведены в таблице (табл.4.7):

Таблица 4.7

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8
	1130	1220	1350	1390	1340	1380	1490	1680

Задание: найти точечный прогноз дохода населения по линейному тренду на 9 год.

Задача 9. Известны статистические данные расхода условного топлива на производство электроэнергии на электростанциях региона (г на 1 кВт.ч) (табл.4.8):

Таблица 4.8

Год	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000
	468	401	367	340	328	326	325

Задание: оценить параметры гиперболического уравнения тренда .

Задача 10. Объем экспорта (млрд. долл.) Японии за 8 лет представлен в следующей таблице (табл.4.9):

Таблица 4.9

Год	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995
	265	274	288	315	340	362	397	443

Задание: Построить параболическое (второго порядка) уравнение тренда временного ряда.

Задача 11. Имеются данные о розничном товарообороте региона(усл. ед.) за 10 лет (табл.4.10):

Таблица 4.10

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Товарооборот	11	13	22	18	20	19	25	23	24	35

Задание: построить линейную, степенную, логарифмическую и экспоненциальную модель тренда временного ряда.

Задача 12. Имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы (ц/га) за 10 лет (табл.4.11):

Таблица 4.11

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	16,3	20,2	17,1	7,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7

Задание:

1) найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение урожайности озимой пшеницы.

2) определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда 1 и 2 порядков (для лагов =1 и =2).

3) провести выравнивание ряда методом скользящих средних с интервалом сглаживания 3 и 4.

4) найти уравнение линейного тренда временного ряда и проверить его значимость на уровне =0,05.

Задача 13. Имеются следующие данные об урожайности пшеницы за 12 лет (табл.4.12):

Таблица 4.12

	16,3	20,2	17,1	9,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7	19,5	21,1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Задание:

1) найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов 1,2) временного ряда;

2) провести сглаживание исходного временного ряда методом скользящих средних, используя среднюю арифметическую с интервалом сглаживания:

а) 3;

б) 4;

3) найти уравнение тренда ряда, полагая, что он линейный, и проверить его значимость на уровне 0,05.

Задача 14. Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за ряд лет (млн. долл.), которые представлены в следующей таблице (табл.4.13):

Таблица 4.13

	1	2	3	4	5	6	7
	2	6	7	3	10	12	13

Известно также, что 511.

Задание:

1) построить уравнение линейного тренда и дать интерпретацию его параметров.

2) определить коэффициент детерминации для линейного тренда.

3) администрация банка предполагает, что среднегодовой абсолютный прирост депозитов физических лиц составляет не менее 2,5 млн. долл. Подтверждается ли на уровне значимости =0,05 это предположение результатами, которые приводятся?

Задача 15. Переменная в семи последовательных годах принимала значения (табл.4.14):

Таблица 4.14

Год,	1	2	3	4	5	6	7
	8	13	14	17	18	19	20

Задание:

1) оценить модель тенденции в форме линейного тренда;

2) определить точечный прогноз переменной на период 10;

3) построить интервальный прогноз при достоверности прогноза 0,9 и при условии, что случайные отклонения модели имеют нормальное распределение.

Задача 16. Длина электрифицированных железнодорожных путей (тыс. км) в Польше за 15 лет приведена в следующей таблице (табл.4.15):

Таблица 4.15

Год		Год
1 2 3 4 5 6 7 8	3,9 4,0 4,4 4,7 5,1 5,6 6,0 6,3	9 10 11 12 13 14 15	6,5 6,7 6,9 7,1 7,8 8,3 9,1

Задание:

1) по статистическим данным построить модель линейного тренда;

2) построить точечный прогноз длины электрифицированных железнодорожных путей на 1989 год;

3) определить интервалы прогнозирования для этого же года при достоверности прогноза =0,95 и при условии, что случайные отклонения имеют нормальное распределение.

Задача 17. Изучается динамика потребления мяса в регионе. Для этого были собраны данные об объемах среднедушевого потребления мяса (кг) за 7 месяцев. Предварительная обработка данных путем логарифмирования привела к получению следующих результатов (табл.4.16):

Таблица 4.16

Месяц	1	2	3	4	5	6	7
	2,10	2,11	2,13	2,17	2,22	2,28	2,31

Задание: требуется построить уравнение экспоненциального тренда и дать интерпретацию его параметров.

Задача 18. Переменная в семи последовательных периодах времени принимала следующие значения (табл.4.17):

Таблица 4.17

Год,	1	2	3	4	5	6	7
	10	15	20	28	42	60	80

По этим данным построен показательный тренд:

Задание: построить точечный и интервальный прогнозы для переменной на период 8 при достоверности прогноза 0,95. Принять, что случайные отклонения от тренда имеют нормальное распределение.

Задача 19. Имеются данные об урожайности зерновых (ц/га) в хозяйствах области (табл.4.18):

Таблица 4.18

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8
	10,2	10,7	11,7	13,1	14,9	17,2	20,0	23,2

Задание:

1) обосновать выбор типа уравнения тренда;

2) рассчитать параметры уравнения тренда;

3) дать прогноз урожайности зерновых на следующий год.

Задача 20. Годовое потребление некоторого товара и доходы населения (тыс. руб.) за 1989-1997 гг. приведены в таблице (табл.4.19):

Таблица 4.19

Годы	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Потребление	46	50	54	59	62	67	75	86	100
Доходы	53	57	64	70	73	82	95	110	127

Задание: Построить уравнение регрессии, включив в него фактор времени, если известно, что 599, 731, 52179, 64361, 42367.

Задача 21. Изучается зависимость объема продаж бензина от динамики потребительских цен . Полученные за последние 6 кварталов данные представлены в следующей таблице (табл.4.20):

Таблица 4.20

Квартал	1	2	3	4	5	6
, (%)	100	104	112	117	121	126
, (тыс. л)	89	83	80	77	75	72

Задание: известно также, что 680, 476, 53648, 77566. Построить модель зависимости объема продаж бензина от индекса потребительских цен с включением фактора времени.