Тема 5.2. Методы оценки системы одновременных уравнений (1 занятие)

Вопросы для изучения

1. Косвенный, двухшаговый и трехшаговый МНК.

2.  Применение систем уравнений для построения макроэкономических моделей и моделей спроса – предложения.

Контрольные вопросы

1. Для оценки каких систем возможно применять обычный МНК?

2. В чем суть косвенного МНК?

3. Всегда ли можно применить косвенный МНК?

4. В чем суть двухшагового МНК и когда он применяется?

5. Что представляют собой мультипликаторные модели кейнсианского типа?

6. Приведите пример динамической модели экономики.

Практические задания

Задача 1. Задана модель из двух уравнений:

,

.

Задание: определить структурные коэффициенты модели по следующим данным (табл.5.2):

Таблица 5.2

	1	2	3	4		1	2	3	4
	2	1	3	1		1	1	1	0
	4	1	2	2		1	0	1	0

 

Задача 2. Для определения влияния некоторых факторов на результаты аграрного производства 11 агропредприятий, входящих в состав агропромышленного комбината, построена модель:

,

,

где:  - урожайность зерновых культур (центнер с 1 га);  - производство мяса в кг на 1 га;  - показатель качества земли.

Наблюдения перечисленных переменных представлены в следующей таблице (табл.5.3):

Таблица 5.3

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	33	42	28	29	31	38	25	30	35	30	22
	220	240	180	190	210	250	170	230	210	200	170
	1,0	1,3	0,8	0,7	1,1	1,3	0,9	1,0	1,1	1,2	0,6

 

Задание: оценить структурные коэффициенты модели.

Задача 3. На основе следующих данных (табл.5.4):

Таблица 5.4

	1	2	3	4	5
	2	1	1	0	1
	2	3	4	5	6
	4	4	5	6	6
	1	1	2	3	3

 

Задание: оценить структурные коэффициенты модели:

,

,

.

Задача 4. Имеется модель, построенная по 16 наблюдениям:

.

,

.

Ей соответствует следующая приведенная форма:

,

,

.

Известны также следующие исходные данные (табл.5.5):

Таблица 5.5

	1	2	3	4	5	6
	3	2	4	1	5	8
	2	3	5	6	10	8
	4	7	3	6	5	5

 

Задание:

1) определить структурные параметры первого уравнения, если это возможно;

2) определить структурные параметры второго уравнения, если это возможно.

Задача 5. Имеется следующая модель:

,

,

.

Приведенная форма этой модели имеет вид:

,

,

.

Задание: определить все возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

Задача 6. Имеется следующая гипотетическая структурная модель:

,

,

.

Приведенная форма исходной модели имеет вид:

,

,

.

Задание:

1) проверить структурную форму модели на идентифицируемость;

2) определить структурные коэффициенты модели.

Задача 7. Рассматривается следующая модель:

,

,

.

Приведенная форма этой модели, оцененная с помощью обычного МНК, имеет вид:

,

,

.

Известно, что второе и третье уравнение точно идентифицируемы.

Задание: определить оценки коэффициентов структурной формы этих уравнений косвенным методом наименьших квадратов.

Задача 8. Построена модель:

,

,

после чего обычным МНК оценена ее приведенная форма:

,

.

Задание: определить оценки коэффициентов первого уравнения структурной формы косвенным МНК, если известно, что это уравнение точно идентифицируемо.

Задача 9. Построена модель:

,

.

Таблица 5.6

1	1	2	1	0	1
2	2	1	1	1	0
3	2	1	1	1	0
4	3	0	1	1	1
5	2	1	1	1	1

 

Задание: оценить коэффициенты исходной модели косвенным МНК, если известно, что второе уравнение точно идентифицируемо.

Задача 10. Задание: оценить двухшаговым методом наименьших квадратов структурные коэффициенты модели:

,

при наличии следующих данных (табл.5.7):

Таблица 5.7

1	2	4	1	0
2	3	4	1	1
3	3	3	1	1
4	4	2	0	2
5	5	2	0	2

Задача 11. Дана эконометрическая модель:

,

.

и выборочные данные (табл.5.8):

Таблица 5.8

1	2	5	1	3
2	3	6	2	1
3	4	7	3	2
4	5	8	2	5
5	6	5	4	6

 

Задание: проверить структурную форму модели на идентификацию и определить структурные коэффициенты модели с использованием косвенного и двухшагового МНК.

Задача 12. Задана модель:

,

,

и известны следующие данные (табл.5.9):

Таблица 5.9

1	1	6	3	1	2	1
2	2	8	4	1	2	1
3	3	8	4	2	2	1
4	4	10	4	2	3	1
5	5	12	5	2	3	1

 

Задание: оценить двухшаговым методом наименьших квадратов структурные коэффициенты второго уравнения.

Задача13. Имеется следующая структурная модель:

Y₁ = b₁₂Y₂ + a₁₁X₁+ a₁₂X₂,

Y₂ = b₂₁Y₁ + b₂₃Y₃ + a₂₂X₂,

Y₃ = b₃₂Y₂ + a₃₁X₁ + a₃₃X₃.

Приведенная форма исходной модели имеет вид:

Y₁ = 3X₁ – 5X₂ + 11X_3,

Y₂ = 2X₁ + 4X₂ + 3X_3,

Y₃ = -5X₁ + 6X₂ + 5X_3.

Задание: определите структурные коэффициенты модели.

Задача 14. Имеется следующая структурная модель:

Y₁ = b₁₂Y₂ + a₁₁X₁+ a₁₂X₂,

Y₂ = b₂₁Y₁ + b₂₃Y₃ + a₂₂X₂,

Y₃ = b₃₂Y₂ + a₃₁X₁ + a₃₃X₃.

Приведенная форма исходной модели имеет вид:

Y₁ = 2X₁ – 4X₂ + 10X_3,

Y₂ = X₁ + 3X₂ + 2X_3,

Y₃ = -6X₁ + 7X₂ + 6X_3.

Задание: определите структурные коэффициенты модели.

Рекомендуемая литература

1. Бородич С.А. Эконометрика: учебное пособие. -Мн.: Новое знание,2006.- Гл. 13.

2. Практикум по эконометрике: учебное пособие / Под ред И. И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2007. - Раздел 4.

3. Эконометрика: учебник / Под ред. И. И. Елисеевой. 2-е изд. -М.: Финансы и статистика, 2005. Гл. 5.

Приложение 1

Двухсторонние критические значения t–критерия Стьюдента при уровне значимости α= 0,10; 0,05; 0,01

Число степе- ней свободы	Α
	0,10	0,05	0,01
1	6,3138	12,706	63,657
2	2,9200	4,3027	9,9248
3	2,3534	3,1825	5,8409
4	2,1318	2,7764	4,6041
5	2,0150	2,5706	4,0321
6	1,9432	2,4469	3,7074
7	1,8946	2,3646	3,4995
8	1,8595	2,3060	3,3554
9	1,8331	2,2622	3,2498
10	1,8125	2,2281	3,1693
11	1,7959	2,2010	3,1058
12	1,7823	2,1788	3,0545
13	1,7709	2,1604	3,0123
14	1,7613	2,1448	2,9768
15	1,7530	2,1315	2,9467
16	1,7459	2,1199	2,9208
17	1,7396	2,1098	2,8982
18	1,7341	2,1009	2,8784
19	1,7291	2,0930	2,8609
20	1,7247	2,0860	2,8453
21	1,7207	2,0796	2,8314
22	1,7171	2,0739	2,8188
23	1,7139	2,0687	2,8073
24	1,7109	2,0693	2,7969
25	1,7081	2,0595	2,7874
26	1,7056	2,0555	2,7787
27	1,7033	2,0518	2,7707
28	1,7011	2,0484	2,7633
29	1,6991	2,0452	2,7564
30	1,6973	2,0423	2,7500
40	1,6839	2,0211	2,7045
60	1,6707	2,0003	2,6603
120	1,6577	1,9799	2,6174
∞	1,6449	1,9600	2,5758

Приложение 2

Таблица значений F–критерия Фишера при уровне значимости α=0,05

k1 k2	1	2	3	4	5	6	8	12	24	∞
1	161,4	199,5	215,7	224,5	230,1	233,9	238,8	243,9	249,0	254,3
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
35	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,51
45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,13	1,95	1,74	1,44
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
70	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
90	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2,04	1,86	1,64	1,28
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
150	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
400	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
1000	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
∞	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1,00

Приложение 3

Значения критерия Дарбина-Уотсона d₁ и d₂ при уровне значимости α=0,05

n	K=1		K=2		K=3
	D1	D2	D1	D2	D1	D2
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36	1.08 1.1 1.13 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.27 1.29 1.3 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.4 1.41	1.36 1.37 1.38 1.39 1.4 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.45 1.16 1.17 1.48 1.48 1.49 1.5 1.5 1.51 1.51 1.52 1.52	0.95 0.98 1.02 1.05 1.08 1.1 1.13 1.15 1.17 1.19 1.21 1.22 1.24 1.26 1.27 1.28 1.3 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35	1.54 1.54 1.54 1.53 1.53 1.54 1.54 1.54 1.54 1.55 1.55 1.55 1.56 1.56 1.56 1.57 1.57 1.57 1.58 1.58 1.58 1.59	0.82 0.86 0.9 0.93 0.97 1 1.03 1.05 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 1.21 1.23 1.24 1.26 1.27 1.28 1.29	1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.68 1.67 1.66 1.66 1.66 1.66 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65