Разумеется, связь между конкретными экономическими факторами вовсе не обязана быть линейной.
Например, если мы рассматриваем зависимость от располагаемого дохода не всех затрат на личное потребление, а лишь затрат на некоторый продукт питания (или группу продуктов питания), например, на куриные яйца, то уже по чисто физиологическим причинам функция связи
скорее всего, должна замедлять свой рост при возрастании , так что возможный график этой функции имеет вид
В такой ситуации нельзя говорить о склонности к потреблению данного продукта как о постоянной величине. Вместо этого, в рассмотрение вводят понятие предельной (marginal) склонности к потреблению (MPC), которая для заданной величины располагаемого дохода определяется формулой
Иначе говоря,
Замедление скорости роста функции соответствует убыванию с возрастанием . Уточняя предположения о поведении , можно получить ту или иную форму связи между переменными и .
Среди прочих возможных форм связи между и отметим степенную связь
|
|
в которой . Для такой связи
так что предельная склонность к потреблению монотонно убывает с ростом .
Степенную форму связи можно привести к линейной форме, если вместо уровней дохода и расходов на потребление рассмотреть логарифмы уровней по какому-нибудь (но одному и тому же!) основанию (например, натуральные или десятичные логарифмы).
Действительно, переходя к логарифмам уровней, получаем соотношение
или, обозначая
Линейной модели связи в логарифмах соответствует линейная модель наблюдений
которую мы уже умеем оценивать.
Заметим, что коэффициент в последних выражениях есть не что иное как
эта величина не зависит от выбора основания логарифмов, так что
где используются натуральные логарифмы.
Вообще, если мы имеем связь между какими-то переменными экономическими факторами и в виде
то мы определяем функцию
как предельную склонность Y по отношению к X.
В экономической теории существенную роль играет функция эластичности, определяемая как предел
отношения процентного изменения к процентному изменению , когда последнее стремится к нулю. Правую часть последнего соотношения можно записать в виде
Заметим также, что
так что
Значение равно угловому коэффициенту касательной к графику функции при , тогда как значение равно угловому коэффициенту касательной к графику зависимости от при . Как следствие, условие постоянства , т. е. , означает линейную связь между уровнями факторов
а условие постоянства эластичности означает линейную связь между логарифмами уровней
|
|
соответствующую степенной связи между уровнями
выражающей степенное возрастание (при ) или убывание (при ) уровней фактора при возрастании уровней фактора .
Заметим, что если , то эту постоянную можно трактовать как процентное изменение уровня фактора при изменении фактора на 1%.
Отметим также, что в модели функция эластичности имеет вид
и при возрастает от до с возрастанием значений от до . Если , то . При функция эластичности убывает от до , когда изменяется от до .
К линейной форме связи можно привести и некоторые другие виды зависимости, характерные для экономических моделей.
Так, если — объем плановых инвестиций, а — норма процента, то между ними существует связь, которая иногда может быть выражена в форме
и имет графическое представление
Заменой переменной приводим указанную связь к линейной форме В этой модели эластичность по отрицательна и меньше единицы по абсолютной величине:
(«объем плановых инвестиций неэластичен по отношению к норме процента»).
В моделях «доход — потребление», относящихся к потреблению продуктов питания, линейная модель в логарифмах уровней, выражающая уменьшение с возрастанием , все же не всегда удовлетворительна, поскольку эластичность в такой модели постоянна. Опять же по чисто физиологическим причинам, скорее более подходящей будет модель связи с убывающей (в конечном счете) эластичностью. Такого рода связь между факторами и может иметь вид
(См. следующий график, построенный при a = 5, b = 10.)
Действительно,
однако, здесь возникают проблемы с отрицательными значениями при малых значениях .
Последнего недостатка нет в модели
т. е.
(График построен при значениях a =0.1, b =1.) Здесь
(закон Энгеля убывания эластичности потребления продуктов питания по доходу).
Обе последние модели сводятся к линейной форме связи путем перехода от уровней переменных к их логарифмам или обратным величинам.
Замечание
Если исследователь принимает модель наблюдений
то тем самым, он соглашается тем, что
или
т. е. соглашается с мультипликативным вхождением ошибок в нелинейное уравнение для .
В то же время, не исключено, что по существу дела модель должна иметь вид
т. е. имеет аддитивные ошибки. В последнем случае взятие логарифмов от обеих частей не приводит к линейной модели наблюдений. В такой ситуации оценки наименьших квадратов параметров и приходится получать итерационными методами, в процессе реализации которых производится последовательное приближение к минимуму суммы квадратов