В результаті проведеного експерименту ми маємо ряд результатів Хі, Уі, функціональну залежність між якими будемо шукати за допомогою поліному степені К, де коефіцієнти аі являються невідомими.
Тоді, система нормальних рівнянь буде
па0 + а1 [ х ]+ а2 [ х2 ]+...+ ат [ хт ]- [ у ] = 0,
а0 [ х ]+ а1 [ х2 ]+ а2 [ х3 ]+...+ ат [ хт+1 ]- [ ху ] = 0,
а0 [ х2 ]+ а1 [ х3 ]+ а2 [ х4 ]+...+ ат [ хт+1 ]- [ х2у ] = 0, (3.1)
............................
а0 [ хт ]+ а1 [ хт+1 ]+ а2 [ хт+2 ]+...+ ат [ х2т ]- [ хту ] = 0,
де знаком [ ] позначена сума відповідного елемента.
Для поліному третього порядку виду
y = ax3 + bx2 + cx + d (3.2)
система нормальних рівнянь буде
dn + c[x] + b[x2] + a[x3] - [y] = 0,
d[x] + c[x2] + b[x3] + a[x4] - [xy] = 0, (3.3)
d[x2] + c[x3] + b[x4] + a[x5] - [x2y] = 0,
d[x3] + c[x4] + b[x5] + a[x6] - [x3y] = 0,
або
a[x6] + b[x5] + c[x4] + d[x3] – [x3y]= 0,
a[x5] + b[x4] + c[x3] + d[x2] – [x2y]= 0, (3.4)
a[x4] + b[x3] + c[x2] + d[x] – [xy] = 0,
a[x3] + b[x2] + c[x] + dn – [y]= 0,
В подальшому будемо рішати систему лінійних нормальних рівнянь (3.3) або (3.4) одним із відомих в математиці способів.
Встановлення коефіцієнтів нормальних рівнянь
Приведемо розрахункову таблицю, на основі якої отримують коефіцієнти нормальних рівнянь.
|
|
Таблиця 4. Розрахунок коефіцієнтів нормальних рівнянь.
№ п/п | xоп | yіст | x˚ | x2 | x3 | x6 | x5 | x4 |
1 | 1,393 | 18,021 | 1 | 1,941 | 2,703 | 7,307 | 5,246 | 3,766 |
2 | 1,969 | 13,864 | 1 | 3,878 | 7,636 | 58,316 | 29,614 | 15,038 |
3 | 2,060 | 13,167 | 1 | 4,244 | 8,742 | 76,424 | 37,099 | 18,009 |
4 | 2,449 | 11,986 | 1 | 5,997 | 14,687 | 215,713 | 88,084 | 35,968 |
5 | 2,506 | 10,898 | 1 | 6,281 | 15,740 | 247,737 | 98,854 | 39,445 |
6 | 2,700 | 8,949 | 1 | 7,291 | 19,686 | 387,521 | 143,520 | 53,153 |
7 | 2,901 | 8,101 | 1 | 8,419 | 24,427 | 596,663 | 205,640 | 70,874 |
8 | 3,071 | 7,108 | 1 | 9,429 | 28,952 | 838,204 | 272,976 | 88,900 |
9 | 3,120 | 5,939 | 1 | 9,734 | 30,369 | 922,284 | 295,611 | 94,749 |
10 | 3,431 | 2,965 | 1 | 11,768 | 40,372 | 1629,884 | 475,113 | 138,496 |
n=10 | 25,600 | 100,998 | 10 | 68,980 | 193,314 | 4980,054 | 1651,756 | 558,398 |
Продовження таблиці 4.
№ п/п | х3у | х2у | ху |
1 | 48,7148 | 34,97037 | 25,10381 |
2 | 105,8723 | 53,76312 | 27,3015 |
3 | 115,107 | 55,87662 | 27,1243 |
4 | 176,0406 | 71,88419 | 29,35309 |
5 | 171,5309 | 68,44533 | 27,31149 |
6 | 176,1661 | 65,24388 | 24,16335 |
7 | 197,8805 | 68,19956 | 23,50499 |
8 | 205,7891 | 67,01892 | 21,82591 |
9 | 180,3622 | 57,80981 | 18,52923 |
10 | 119,7025 | 34,89342 | 10,17148 |
n=10 | 1497,166 | 578,105 | 234,389 |
Параметр S розраховується за формулою
S= x+x2+x3+x0-y (4.1)
Таким чином, на основі проведених розрахунків нами отримана слідуюча система нормальних рівнянь
10 d+25,6 c+68,980b+193,314a-101=0,
25d+68,980c+193,314b+558,398a-234,389=0,
68,980d+193,314c+558,398b+1651,756a-578,105=0, (4.2)
193,314d+558,398c+1651,756b+4980,054a-1496,166=0,
або
4980,054a+1651,756b +558,398c +193,314d -1496,166=0,
1651,756a+558,398b +193,314c +68,980d-578,105=0,
578,105a+100,998 b+68,980c+25,6d-234,389=0, (4.3) 193,314a+68,980b+25,6c+10d-101=0