Задание 4. Модель Стоуна

 

Функция полезности потребителя имеет вид

 

, где

.

 

1. Найти равновесный спрос и его полезность, если рыночная цена первого товара , рыночная цена второго товара  и потребитель выделяет на приобретение товаров сумму  денежных единиц.

2. Найти функции спроса на оба вида товаров.

3. Найти спрос на оба товара при увеличении дохода на 30 денежных единиц и при уменьшении дохода на 60 денежных единиц.

РЕШЕНИЕ

1. Функция полезности потребителя имеет вид

 

.

 

Вычислим равновесный спрос при заданных ценах и доходе. Найдём стоимость минимального набора товаров

 

.

 

Оставшаяся сумма денег  распределяется пропорционально коэффициентам эластичности этих товаров

 

.

 

На приобретение первого товара выделяется сумма

 

.

 

На приобретение 2-го товара - сумма

 

.

 

Поделив выделенные средства на рыночные цены товаров, получаем количество товара, приобретаемое сверх установленных нормативов

 

 

Таким образом, оптимальный спрос составит

 

 единиц первого товара и

 единиц второго товара.

 

Полезность равновесного набора будет равна

 

.

 

2. Найдём функции спроса, заменяя в формулах спроса

 

, .

 

Эти формулы определяют спрос на продукцию при любых ценах и доходах.

3. Оценим влияние на спрос изменения дохода обоих товаров. Найдём реакцию спроса на изменение дохода на 1 денежную единицу. Частные производные по доходу  показывают изменение спроса на первый и второй товары соответственно при возрастании дохода на 1 денежную единицу.

Дифференцируя полученные выше функции спроса по М, получаем

 

.

 

Вычислим эти частные производные при заданных  и :

.

 

Так как значения частных производных положительные, то оба товара являются ценными: с ростом дохода на 1 денежную единицу спрос на оба товара растёт: спрос на первый товар увеличивается на , а второго - на .

При увеличении дохода потребителя на 30 денежных единиц спрос на первый товар увеличится на  единицы, а второго на  и составит

 

, .

 

При уменьшении дохода потребителя на 60 денежных единиц спрос на первый товар снизится на  единиц, а спрос на второй товар снизится на  единиц и составит соответственно:

 

, .