2020-01-15
169
Возьмём функцию 
, представляющую прямоугольную область 
. Вычислим площадь данной области с помощью двойного интеграла. Разобьём промежутки 
и 
на части, вставляя точки деления
,
.
Тогда прямоугольник разложится на частичные прямоугольники (чертёж 17): 
. (чертёж 17)
Обозначим через 
и 
точные нижнюю и верхнюю границы прямоугольника
. Возьмём 
, тогда 
. Просуммируем 
, где s и S – суммы Дарбу. Если 
и 
устремить к нулю, то 
. Это и есть значение K площади: 
.
Вычисление площади в случае криволинейной области
Рассмотрим область 
, ограниченную снизу и сверху двумя непрерывными кривыми: 
, 
, а с боков двумя ординатами 
и 
(чертёж 18).
Заключим область 
в прямоугольник 
, (чертёж 18) полагая 
, 
. Значение площади K площади в этом случае: 
.
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (чертёж 19):
. Наличие двучлена 
наталкивает на мысль перейти к полярным координатам:
, 
, площадь 
.
Благодаря симметрии, определим (чертёж 19) площадь части 
фигуры, т.е. 
. Полярное уравнение лемнискаты 
, 
, получаем 
, искомая площадь есть 
.
Вычисление объёма цилиндрического бруса
Пусть 
непрерывная и положительная функция. Вычислим объём тела, которое сверху ограничено поверхностью 
, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 
, снизу – плоской фигурой 
на плоскости 
(чертёж 20).
1.Разобьём область 
на части: 
и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков. (чертёж 20)
2. Возьмём 
.
3. 
, где 
- площадь 
.
4. Получили интегральную сумму 
.
5. 
, где 
- длина наибольшего диаметра частичной области.
В итоге объём 
.
Пример: Найти объём тела, вырезанного цилиндром 
из сферы 
(«тело Вивиани») (чертёж 21).
,
где P есть полукруг в первом квадранте плоскости xoy, ограниченный линиями 
и 
. Перейдём к полярным координатам, тогда уравнение контура P будет 
при 
.
Таким образом, объём
.
Механические приложения
Пусть массы непрерывным образом распределены по области (P), причём плотность в точке 
пусть будет 
. Тогда элемент массы 
, вся масса 
.
Элементарные статические моменты и моменты инерции относительно осей координат будут 
, 
,
, 
. Отсюда
.
Получим координаты центра тяжести 
.
Пусть в пространстве дан брус. Его элементарные статические моменты будут
.
Отсюда координаты центра тяжести
.
Формулы для моментов инерции бруса 
относительно оси z и 
, 
- относительно плоскостей координат yz, zx:
.
Пример: Найти центр тяжести однородного эллипсоида 
, содержащийся в первом октанте (чертёж 22). (чертёж 22)
Область (P) ограничена координатными осями и дугой эллипса 
, уравнение эллипсоида в явном виде
. Тогда
. Аналогично 
, 
. Объём 
. Найдем координаты центра тяжести 
.
