Методы выравнивания рядов динамики

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики. Например, за колебаниями урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры в отдельные годы тенденция роста (уменьшения) урожайности может не просматриваться непосредственно, и поэтому должна быть выявлена статистическими методами.

Методы анализа основной тенденции в рядах динамики разделяются на две основные группы:

1) сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

2) выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Рассмотрим методы каждой группы.

Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. В этом случае для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, который основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям – на два в начале и в конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции.

 

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени - y =f(t).

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды. Полиномы имеют следующий вид:

 

полином первой степени:           

полином второй степени:     

полином третьей степени:        

полином n-ой степени:             

 

Здесь ,...  - параметры полиномов, t - условное обозначение времени. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр  трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры , ,  - как изменения ускорения.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой (полином первой степени): . Параметры  согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений:

 

(1.10.14)

 

где у – фактические (эмпирические) уровни ряда;

 t – время (порядковый номер периода или момента времени).

 

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t =0) принять центральный интервал (момент).

 

 

При четном числе уровней значения t – условного обозначения времени будут такими:

…-5, -3, -1, +1, +3, +5,…

 

При нечетном числе уровней значения устанавливаются по-другому:

…-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …

 

В обоих случаях =0, так что система нормальных уравнений (1.10.14) принимает вид:

  (1.10.15)

Из первого уравнения     (1.10.16),

            из второго -     (1.10.17).

Проиллюстрируем на примере динамического ряда производства цемента в экономическом регионе за 1991 – 2002 гг. (см. табл. 1.10.4, расчетные значения – табл. 1.10.6) выравнивание ряда динамики по прямой. Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель – уравнение прямой: . В нашем примере n = 12 – четное число. Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало его отсчета приходилось на середину рассматриваемого периода.