Нехай в області визначено векторне поле
;
– замкнена поверхня, яка обмежує область
;
– одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні
у точці
.
Нехай, далі, та їхні частинні похідні
неперервні в області
. Тоді справедлива формула Остроградського-Гаусса:
. (7)
Підінтегральна функція в потрійному інтегралі є , а поверхневий інтеграл – потік векторного поля
через поверхню
. Тому формулу (7) можна записати у векторній формі:
. (8)
Фізичний зміст формули Остроградського-Гаусса: потік векторного поля через замкнену поверхню в сторону зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цією поверхнею, від дивергенції векторного поля
. Щоб потік був відмінним від нуля, всередині області
мають бути джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді
є відмінною від нуля. Таким чином,
характеризує джерела поля. Само векторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і походить назва «розбіжність» або «дивергенція».
|
|