2020-01-14
87
1.Для изучения статистической устойчивости события А в заданиях 1 и 2 результаты испытаний сгруппировать сериями по n испытаний в каждой серии, Число полученных серий обозначим k.
2.Подсчитать число появлений mі события А в каждой серии.
3.Вычислить частоту ωi(A) появления событий А в каждой серии/
4.Объединив результаты опытов 1 и 2, затем 1, 2, 3 и т.д. до последней серии опытов в задании, вычислить:
Nі – число опытов в объединённых (накопленных) сериях испытаний.
Mі – число появления события А в объединенных (накопленных) сериях
испытаний.
Wі(А) – частоту появления события А в объединенных (накопленных) сериях испытаний.
5. Результаты вычислений занести в таблицу 1.
6. Построить точечную диаграмму №1. Зависимость ωi(A) от номера серииі=1, 2,... k.
7.Построить точечную диаграмму №2. Зависимость Wk (А)от числа опытов в серии Nі.
8. Сравнить полученные диаграммы и сделать вывод о статической устойчивости события А.
9. Вычислить или найти в приложении 1 и 2 вероятность появления события А Р(А).
|
|
|
10. Вычислить вероятность противоположного события, пользуясь формулой q = 1 -p.
11.Найти отклонение относительной частоты Wk(А) от его статистической вероятности Р(А), пользуясь формулой e=÷Wk(А)-Р(А)÷.
12.Изобразить на точечной диаграмме №2 линии, соответствующие значениям Р(А),Р(А)+e и Р(А)-e.
13. Вычислить вероятность того, что отклонение относительной частоты 
от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа e>0.
14. Определить, находится ли в пределах заданной величины e отклонение частоты Wk(А) от его статистической вероятности Р(А).
15.Оценить минимальное число опытов, необходимых для стабильного получения отклонений частоты Wk(А) от его статистической вероятности Р(А)в пределах заданной величины e, для доверительной вероятности γ = 0,95 по формуле
16.Сделать выводы.
Замечания
1.Все вычисления производить с точностью до 0,001.
2.Точечные диаграммы строить на миллиметровой бумаге, выбирая масштаб в зависимости от полученных числовых значений величины Wі (А).
Контрольные вопросы.
1. Какие события называются случайными?
2. Что называется частотой случайного события А?
3. Какое событие называется статистически устойчивым?
4. Сформулировать статистическое определение вероятности.
5. Сформулировать классическое определение вероятности.
6. Как определить вероятность отклонения частоты W(A) случайного события А от его вероятности Р(А) в независимых испытаниях?
7. Какая функция называется функцией Лапласа? Сформулировать свойства функции Лапласа.
8. Как найти вероятность события противоположного событию А?
|
|
|
9. Что называется доверительной вероятностью или надежностью оценки характеристики W(A)?
10. Как определить минимальное число опытов, необходимых для стабильного получения отклонений частоты W(A) в пределах заданной доверительной вероятности?
задача № 1
Задача 1
Событие А – появление герба при бросании монеты. Результаты опытов отражены в приложении 1. Серии брать по 10 бросаний монеты. Последовательность испытаний и цифра указаны в таблице заданий.
Решение.
1. Результаты испытаний сгруппируем в k=15 серий по n=10 испытаний в каждой серии.
2. Заполним первую колонку таблицы "№ серии". Для этого проставляем номера серий от 1 до 15,
3. Заполним вторую колонку таблицы "Число испытаний в серии". В каждой серии по n=10 испытаний.
4. Подсчитаем числопоявление герба при бросании монеты в каждой серии. Данные занесем в третью колонку " Появление герба при бросании монеты в серии".
5. Вычислим частоту ωi (А) появления герба при бросании монеты в каждой серии. Для этого поделим появление герба при бросании монеты на количество испытаний в серии.
6. Объединяем результаты опытов всех 15-ти серий.
7. Вычисляем появление герба при бросании монеты в объединенной серии: Мі.
8. Вычисляем Wk(А) – частоту появление герба при бросании монеты в объединенных сериях испытаний.
9. Построим точечную диаграмму №1 "Зависимость ωi(A) от номера серии і=1, 2,... k".
10. Строим точечную диаграмму №2 "Зависимость Wk(А) от числа опытов в объединенной серии Nk".
11. Находим в приложении 1 появления герба при бросании монеты.
Р(А) = 0,5
12. Вычисляем вероятность противоположного события, пользуясь формулой
q = 1 - p
q = 1 - 0,5 = 0,5
13. Находим отклонение относительной частоты Wk(А) от вероятности Р(А) = 0,5, пользуясь формулой e=÷Wk(А) - Р(А)÷
e =÷ 0,927 – 0,5÷ = 0,427
14. Изобразим на точечной диаграмме № 2 линии, соответствующие значениям
Р(А)= 0,5
Р(А)+e= 0,5 + 0,427 =0,927
Р(А) - e= 0,5 – 0,427 = 0,073
15. Вычисляем вероятность того, что отклонение относительной частоты 
от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа e > 0.
16. Отметим, что отклонение частоты Wk(А) от вероятности Р(А) = 0,5 находится в пределах найденной величины e= 0,427.
17. Сравниваем полученные диаграммы и делаем вывод о статистической устойчивости события А - появление герба при бросании монеты.
18. Оценим минимальное число опытов, необходимых для стабильного получения отклонений частоты Wk(А) от вероятности Р(А) в пределах заданной величины e= 0,427, для доверительной вероятности γ = 0,95 по формуле
Выводы к задаче №1
1.Проведя 15 серий опытов по 10 опытов в каждой серии и построив точечную диаграмму зависимости частоты ωi(A) от номера серии, заметим, что число опытов не достаточно для определения статистической устойчивости случайного события А – появления герба при бросании монеты.
2.Проведя 150 опытов и построив точечную диаграмму зависимости накопленной частоты Wk(А) от количества испытаний, убеждаемся, что событие А - появление герба при бросании монеты, является статистически устойчивым, поскольку с увеличением числа опытов накопленная частота стабилизируется и стремится к числу
Wk(А) = 0,053
3. Вероятность отклонения частоты W k (А) случайного события А от его статистической вероятности Р(А) = 0,5 на величину e = 0,427 равна Р = 0,5.
4. Минимальное число опытов, необходимых для стабильного получения отклонений частоты Wk(А) от вероятности Р(А) в пределах заданной величины e= 0,427 для доверительной вероятности γ = 0,95.
N = 5,267
Таблица № 1
| № серии | ni - число испытаний в серии | mi - число появлений события А | wi(A) - частота появления события А | Ni - число испытаний в объединённой серии | Mi - число появления события А в объединённой серии | Wi(A) - частота появления события А в объединённой серии | P(A) | ε = |W-P| | P(A)+ε | P(A)-ε | ||
| 1
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ||
| 1 | 10 | 9 | 0,900 | 10 | 9 | 0,900 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 2 | 10 | 11 | 1,100 | 20 | 20 | 1,000 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 3 | 10 | 13 | 1,300 | 30 | 33 | 1,100 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 4 | 10 | 6 | 0,600 | 40 | 39 | 0,975 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 5 | 10 | 7 | 0,700 | 50 | 46 | 0,920 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 6 | 10 | 11 | 1,100 | 60 | 57 | 0,950 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 7 | 10 | 12 | 1,200 | 70 | 69 | 0,986 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 8 | 10 | 10 | 1,000 | 80 | 79 | 0,988 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 9 | 10 | 10 | 1,000 | 90 | 89 | 0,989 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 10 | 10 | 10 | 1,000 | 100 | 99 | 0,990 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 11 | 10 | 10 | 1,000 | 110 | 109 | 0,991 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 12 | 10 | 4 | 0,400 | 120 | 113 | 0,942 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 13 | 10 | 6 | 0,600 | 130 | 119 | 0,915 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 14 | 10 | 11 | 1,100 | 140 | 130 | 0,929 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 | ||
| 15 | 10 | 9 | 0,900 | 150 | 139 | 0,927 | 0,500 | 0,427 | 0,927 | 0,073 |
Таблица значений функции Ф (х) = 
| х | Ф (х) | х | Ф (х) | х | Ф (х) | х | Ф (х) |
| 0,00 | 0,0000 | 0,24 | 0,0948 | 0,48 | 0,1844 | 0,72 | 0,2642 |
| 0,01 | 0,0040 | 0,25 | 0,0987 | 0,49 | 0,1879 | 0,73 | 0,2673 |
| 0,02 | 0,0080 | 0,26 | 0,1026 | 0,50 | 0,1915 | 0,74 | 0,2703 |
| 0,03 | 0,0120 | 0,27 | 0,1064 | 0,51 | 0,1950 | 0,75 | 0,2734 |
| 0,04 | 0,0160 | 0,28 | 0,1103 | 0,52 | 0,1985 | 0,76 | 0,2764 |
| 0,05 | 0,0199 | 0,29 | 0,1141 | 0,53 | 0,2019 | 0,77 | 0,2794 |
| 0,06 | 0,0239 | 0,30 | 0,1179 | 0,54 | 0,2054 | 0,78 | 0,2823 |
| 0,07 | 0,0279 | 0,31 | 0,1217 | 0,55 | 0,2088 | 0,79 | 0,2852 |
| 0,08 | 0,0319 | 0,32 | 0,1255 | 0,56 | 0,2123 | 0,80 | 0,2881 |
| 0,09 | 0,0359 | 0,33 | 0,1293 | 0,57 | 0,2157 | 0,81 | 0,2910 |
| 0,10 | 0,0398 | 0,34 | 0,1331 | 0,58 | 0,2190 | 0,82 | 0,2939 |
| 0,11 | 0,0438 | 0,35 | 0,1368 | 0,59 | 0,2224 | 0,83 | 0,2967 |
| 0,12 | 0,0478 | 0,36 | 0,1406 | 0,60 | 0,2257 | 0,84 | 0,2995 |
| 0,13 | 0,0517 | 0,37 | 0,1443 | 0,61 | 0,2291 | 0,85 | 0,3023 |
| 0,14 | 0,0557 | 0,38 | 0,1480 | 0,62 | 0,2324 | 0,86 | 0,3051 |
| 0,15 | 0,0596 | 0,39 | 0,1517 | 0,63 | 0,2357 | 0,87 | 0,3078 |
| 0,16 | 0,0636 | 0,40 | 0,1554 | 0,64 | 0,2389 | 0,88 | 0,3106 |
| 0,17 | 0,0675 | 0,41 | 0,1591 | 0,65 | 0,2422 | 0,89 | 0,3133 |
| 0,18 | 0,0714 | 0,42 | 0,1628 | 0,66 | 0,2454 | 0,90 | 0,3159 |
| 0,19 | 0,0753 | 0,43 | 0,1664 | 0,67 | 0,2486 | 0,91 | 0,3186 |
| 0,20 | 0,0793 | 0,44 | 0,1700 | 0,68 | 0,2517 | 0,92 | 0,3212 |
| 0,21 | 0,0832 | 0,45 | 0,1736 | 0,69 | 0,2549 | 0,93 | 0,3238 |
| 0,22 | 0,0871 | 0,46 | 0,1772 | 0,70 | 0,2580 | 0,94 | 0,3264 |
| 0,23 | 0,0910 | 0,47 | 0,1808 | 0,71 | 0,2611 | 0,95 | 0,3289 |
| 0,96 | 0,3315 | 1,37 | 0,4147 | 1,78 | 0,4625 | 2,36 | 0,4909 |
| 0,97 | 0,3340 | 1,38 | 0,4162 | 1,79 | 0,4633 | 2,38 | 0,4913 |
| 0,98 | 0,3365 | 1,39 | 0,4177 | 1,80 | 0,4641 | 2,40 | 0,4918 |
| 0,99 | 0,3389 | 1,40 | 0,4192 | 1,81 | 0,4649 | 2,42 | 0,4922 |
| 1,00 | 0,3413 | 1,41 | 0,4207 | 1,82 | 0,4656 | 2,44 | 0,4927 |
| 1,01 | 0,3438 | 1,42 | 0,4222 | 1,83 | 0,4664 | 2,46 | 0,4931 |
| 1,02 | 0,3461 | 1,43 | 0,4236 | 1,84 | 0,4671 | 2,48 | 0,4934 |
| 1,03 | 0,3485 | 1,44 | 0,4251 | 1,85 | 0,4678 | 2,50 | 0,4938 |
| 1,04 | 0,3508 | 1,45 | 0,4265 | 1,86 | 0,4686 | 2,52 | 0,4941 |
| 1,05 | 0,3531 | 1,46 | 0,4279 | 1,87 | 0,4693 | 2,54 | 0,4945 |
| 1,06 | 0,3554 | 1,47 | 0,4292 | 1,88 | 0,4699 | 2,56 | 0,4948 |
| 1,07 | 0,3577 | 1,48 | 0,4306 | 1,89 | 0,4706 | 2,58 | 0,4951 |
| 1,08 | 0,3599 | 1,49 | 0,4319 | 1,90 | 0,4713 | 2,60 | 0,4953 |
| 1,09 | 0,3621 | 1,50 | 0,4332 | 1,91 | 0,4719 | 2,62 | 0,4956 |
| 1,10 | 0,3643 | 1,51 | 0,4345 | 1,92 | 0,4726 | 2,64 | 0,4959 |
| 1,11 | 0,3665 | 1,52 | 0,4357 | 1,93 | 0,4732 | 2,66 | 0,4961 |
| 1,12 | 0,3686 | 1,53 | 0,4370 | 1,94 | 0,4738 | 2,68 | 0,4963 |
| 1,13 | 0,3708 | 1,54 | 0,4382 | 1,95 | 0,4744 | 2,70 | 0,4965 |
| 1,14 | 0,3729 | 1,55 | 0,4394 | 1,96 | 0,4750 | 2,72 | 0,4967 |
| 1,15 | 0,3749 | 1,56 | 0,4406 | 1,97 | 0,4756 | 2,74 | 0,4969 |
| 1,16 | 0,3770 | 1,57 | 0,4418 | 1,98 | 0,4761 | 2,46 | 0,4971 |
| 1,17 | 0,3790 | 1,58 | 0,4429 | 1,99 | 0,4767 | 2,78 | 0,4973 |
| 1,18 | 0,3810 | 1,59 | 0,4441 | 2,00 | 0,4772 | 2,80 | 0,4974 |
| 1,19 | 0,3830 | 1,60 | 0,4452 | 2,02 | 0,4783 | 2,82 | 0,4976 |
| х | Ф (х) | х | Ф (х) | х | Ф (х) | х | Ф (х) |
| 1,20 | 0,3849 | 1,61 | 0,4463 | 2,04 | 0,4793 | 2,84 | 0,4977 |
| 1,21 | 0,3869 | 1,62 | 0,4474 | 2,06 | 0,4803 | 2,86 | 0,4979 |
| 1,22 | 0,3883 | 1,63 | 0,4484 | 2,08 | 0,4812 | 2,88 | 0,4980 |
| 1,23 | 0,3907 | 1,64 | 0,4495 | 2,10 | 0,4821 | 2,90 | 0,4981 |
| 1,24 | 0,3925 | 1,65 | 0,4505 | 2,12 | 0,4831 | 2,92 | 0,4982 |
| 1,25 | 0,3944 | 1,66 | 0,4515 | 2,14 | 0,4838 | 2,94 | 0,4984 |
| 1,26 | 0,3962 | 1,67 | 0,4525 | 2,16 | 0,4846 | 2,96 | 0,4985 |
| 1,27 | 0,3980 | 1,68 | 0,4535 | 2,18 | 0,4854 | 2,98 | 0,4986 |
| 1,28 | 0,3997 | 1,69 | 0,4545 | 2,20 | 0,4861 | 3,00 | 0,49865 |
| 1,29 | 0,4015 | 1,70 | 0,4554 | 2,22 | 0,4868 | 3,20 | 0,49931 |
| 1,30 | 0,4032 | 1,71 | 0,4564 | 2,24 | 0,4875 | 3,40 | 0,49966 |
| 1,31 | 0,4049 | 1,72 | 0,4573 | 2,26 | 0,4881 | 3,60 | 0,499841 |
| 1,32 | 0,4066 | 1,73 | 0,4582 | 2,28 | 0,4887 | 3,80 | 0,499928 |
| 1,33 | 0,4082 | 1,74 | 0,4591 | 2,30 | 0,4893 | 4,00 | 0,499968 |
| 1,34 | 0,4099 | 1,75 | 0,4599 | 2,32 | 0,4898 | 4,50 | 0,499997 |
| 1,35 | 0,4115 | 1,16 | 0,4608 | 2,34 | 0,4904 | 5,00 | 0,499997 |
| 1,36 | 0,4131 | 1,77 | 0,4616 |
|
|
|
