38.1. Пусть гауссова случайная величина имеет плотность распределения вероятностей (35.4). Вычислим ее математическое ожидание. Для этого подставим выражение (35.4) в формулу (37.4), тогда
. (38.1)
Вместо переменной интегрирования введем новую переменную
,
, тогда
. (38.2)
Функция является нечетной, поэтому интеграл в первом слагаемом (38.2) равен нулю. Во втором слагаемом
. (38.3)
Это равенство представляет собой условие нормировки для гауссовой плотности распределения вероятностей (35.4) с параметрами: и
. Таким образом, из (38.2) следует
- среднее гауссовой случайной величины является параметром плотности распределения вероятностей (35.4). В данном случае
имеет геометрическую интерпретацию (рис. 35.2) как значение аргумента
, при котором плотность (35.4) принимает максимальное значение. В дальнейшем символ
используется также и для обозначения среднего любой случайной величины
.
38.2. Вычислим среднее случайной величины , распределенной по экспоненциальному закону (35.8):
. (38.4)
Далее используем способ интегрирования «по частям»:
. (38.5)
38.3. Пусть - число успехов в серии из
независимых опытов. Тогда вероятности
,
определяются формулой Бернули. Поэтому
. (38.6)
Последнее равенство справедливо, поскольку . Подставим в (38.6) формулу Бернули, тогда:
. (38.7)
Введем новый индекс суммирования , тогда
. (38.8)
Поскольку - вероятность
успехов в серии из
опытов, то
- как вероятность достоверного события, состоящего в появлении любого числа успехов в интервале
. Поэтому из (38.8) следует
. (38.9)
38.4. Однако не у всякой случайной величины существует ее математическое ожидание. Причиной этого является расходимость интеграла (37.4), что в свою очередь, обусловлено малой скоростью сходимости к нулю плотности при
, так что для функции
не существует интеграл вида (37.4). Для примера рассмотрим вычисление математического ожидания случайной величины
, распределенной по закону Коши:
.
( 38.10)
Здесь несобственный интеграл расходится, так как
.
Следовательно, случайная величина не имеет математического ожидания. Однако, если интеграл в (38.10) понимать в смысле главного значения Коши, то
,
поскольку функция является нечетной. Следовательно, при этом
. (38.11)