Пусть - неизвестный параметр (число), характеризующий состояние системы. Для определения параметра проводится опыт (измерение). Ситуация осложняется тем, что в процессе измерения на величину накладывается помеха. Таким образом, измерению подлежит не число , а некоторая случайная величина , значения которой в каждом опыте точно предсказать невозможно.
Случайную величину будем называть оценкой параметра . Тогда - ошибка, также случайная величина. Характеристикой качества оценки является ее среднеквадратическая ошибка
. (45.1)
Преобразуем это выражение:
(45.2)
Величина - детерминированная, поэтому ее можно вынести за оператор , следовательно, второе слагаемое
Первое слагаемое (45.2) по определению
- дисперсия случайной величины . Введем обозначение
. (45.3)
Число называется смещением оценки . Таким образом, из (45.2) следует
|
|
(45.4)
- среднеквадратическая ошибка является суммой двух неотрицательных слагаемых. Первое из них – дисперсия, или случайная (стохастическая) компонента ошибки, а второе – квадрат смещения – систематическая ошибка. Если , то оценка называется несмещенной.
Пусть случайная величина - имеет плотность вероятности . Тогда процедуре измерения можно дать геометрическую интерпретацию. На рис. 45.1 представлен график плотности вероятности оценки и показана систематическая ошибка , и случайная ошибка .
Рис. 45.1. Плотность вероятности оценки,
случайная и систематическая части ошибки.
Очевидно, идеальная процедура измерения (с нулевой среднеквадратической ошибкой) – это процедура, для которой плотность близка к функции . Тогда , точка , а эффективная ширина .