В этом пункте рассматриваются различные свойства средних линий, которые были получены путем анализа литературы и различных приложений скелетов в компьютерной графике и визуализации.
Гомотопность (сохранение топологии)
Средние линии должны быть топологически эквивалентны исходному объекту [4][8]. Сохранение топологии может быть сформулировано следующим образом: Два объекта имеют одинаковую топологию, если они имеют одинаковое число связных компонент и полостей.
Однако для средних линий отсутствует понятие полости (из-за одномерности). Поэтому в [10] было предложено следующее определение гомотопности: Скелет сохраняет топологию исходного объекта, если он содержит то же самое число связных компонент и имеет по крайней мере одну петлю для каждой полости в исходном объекте.
Циклы в скелете могут быть найдены с помощью алгоритма поиска в глубину, а наличие полостей в исходном объекте можно определить, используя метод, предложенный в [9].
Инвариантность относительно изометрических преобразований
|
|
Обозначим изометрическое преобразование (преобразование, в котором сохраняются расстояния между точкам) через T, рассматриваемый объект через O, объект, подвергшийся преобразованию T(O), а его скелет должен быть таким же, как и трансформированный скелет исходного объекта, т.е. критерий инвариантности можно переписать
(2.1) |
Это свойство очень важно для приложений, где средние линии используются для описания объекта.
Восстанавливаемость
В [11][12] рассматривают способность некоторых скелетов восстанавливать исходный объект из скелета. Учитывая определение средних линий как множества центров максимальных вписанных шаров, очевидным решением восстановления является вычисление и хранение для каждой точки скелета расстояния до ближайшей точки границы. Если обозначить функцию восстановления через , тогда точное восстановление означает
(2.2) |
Трехмерный объект может быть полностью восстановлен из его представления средними линиями. Это свойство часто используется в приложениях для сжатия объектов, а также для визуализации [13]. В тоже время в общем случае, полное восстановление из-за дискретности множества вокселей не всегда возможно.
Толщина
Желательно, скелет должен быть одномерным, т.е. шириной в один воксель во всех направлениях, исключая точки сочленения различных ветвей.
Можно выделить три типа точек скелета [22]: регулярные точки, которые имеют ровно два соседних вокселя; конечные точки, имеющие ровно один соседний воксель, и точки соединения, которые могут иметь три или более соседей.
|
|
Тонкость и восстанавливаемость являются двумя противоречащими друг другу свойствами. Даже для объектов, в средних поверхностях которых фактически содержатся только кривые (например, для трубчатых объектов), скелет шириной в один воксель может не содержать все необходимые центры максимальных шаров для точной реконструкции объекта.
Центрированность
Важной характеристикой средней линии является его центрированность в пределах объекта. Для достижения идеальной центрированности необходимо, чтобы средняя линия находилась на медиальной поверхности, а сама медиальная поверхность была сосредоточена в пределах объекта. Кроме того, требуется, чтобы средняя линия находилась по центру медиальной поверхности [10]. Это свойство очень важно в приложениях сжатия изображений, а также в некоторых научных приложениях, например, в вычислении средней линии вихря [11]
Тем не менее, в большинстве случаев, точной центрированности извлеченного скелета не требуется или нежелательно (с учетом известной чувствительности скелета к малым возмущениям на границе объекта) [6] [7]. Приближенной центрированности достаточно для многих приложений, таких как виртуальная навигация или визуализация. Например, в виртуальной колоноскопии, надежность (см. ниже) и гладкость пути более важны, чем точная центрированность [14].