Здесь рассматриваются случаи относительного покоя жидкости, находящейся в сосуде, при движении в горизонтальном и вертикальном направлениях с постоянным ускорением ± а и вращении цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью wо. Уравнения свободной поверхности при р=рат и начале координат, как показано на рис. 1.3, соответственно имеют следующий вид:
; (1.6)
Zcв – Z0 = h¢ = 0; (1.7)
Zcв – Z0 = h¢ = w02r2/(2g), (1.8)
где Zcв – текущая координата поверхности жидкости в сосуде;
Z0 – начальная глубина жидкости в сосуде для первых двух случаев или координата параболоида вращения.
Свободная поверхность жидкости для указанных выше случаев представляет собой соответственно наклонную к оси х под углом и горизонтальную плоскости, а также параболоид вращения. Для случая вращения жидкости в цилиндрическом сосуде из равенства объемов (см. рис.1.3, в) следует, что WАВСD = WABEF – WEOF, откуда легко выражается зависимость
|
|
hпов = hпон = 0,5h¢0, (1.9)
где hпов – повышение уровня жидкости у стенки сосуда над первоначальным уровнем;
hпон – понижение уровня жидкости по оси сосуда под первоначальный уровень (см. рис. 1.3);
h¢0 – высота параболоида вращения, соответствующая радиусу сосуда r0.
Для первого и третьего случаев (см. рис. 1.3, а) давление в точке рассматриваемого объема жидкости определяется по уравнению (1.3), т.е. распределяется по гидростатическому закону, а глубину погружения точки под свободную поверхность жидкости рекомендуется определять по зависимости
h = Z0 – Z ± h¢. (1.10)
Для случая вращения жидкости в цилиндрическом сосуде величина h¢ принимается всегда с положительным знаком. При вертикальном перемещении сосуда (рис. 1.3, б) с жидкостью с постоянным ускорением ± а давление в точке рассматриваемого объема определяется по уравнению
Рис. 1.3. Относительный покой жидкости: a – горизонтальное перемещение
сосуда с жидкостью; б – вертикальное перемещение сосуда с жидкостью;
в – вращение сосуда с жидкостью относительно вертикальной оси.
р = р0 + r(g ± a)×h, (1.11)
где знак вертикального ускорения зависит от его направления.
Общую методику решения задач по данной теме рассмотрим на примерах.
Пример 1.3. В цилиндрическую форму (рис.1.4) с внутренним диаметром D = 1120 мм и высотой l = 1000 мм залит цементный раствор для изготовления трубы центробежным способом. При толщине стенок цементной трубы у нижней и верхней грани соответственно d1 = 60 мм и d2 = 58 мм. Определить необходимую частоту вращения цилиндрической формы.
|
|
Рис. 1.4. Расчетная схема.
Решение. Определяется по (1.8) высота параболоида вращения h¢1 и h¢2 соответственно при r1 = D/2 – d1 = 1,12/2 – 0,06 = 0,500 м и r2 = D/2––d1 = 1,12/2 – 0,058 = 0,502 м:
h¢1= ; h¢2= .
Из рис. 1.4 видно, что h¢2 – h¢1 = l = – (r22–r12).
Откуда определяется угловая скорость вращения цилиндрической формы:
Тогда частота вращения цилиндрической формы составит:
мин–1.
Следует отметить, что при уменьшении частоты вращения цилиндрической формы толщина стенки d2 цементной трубы будет уменьшаться, что является не всегда приемлемым.
Ответ: n = 15,76 с–1 = 945,3 мин–1.
Более полно решение задач по этой теме приводится в литературе [4, c.16, 17].