Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Ньютона

Пусть функция y=f(x) задана таблично значениями в узлах интерполяции:

№ узла-i	0	1	2	3	4	5	6
x_i	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9	1.1	1.3
y=f(x_i)	-1.5	-0.88	-0.12	0.7	0.52	0.44	0.97

Приведем два примера выполнения интерполяции для 1-й и для 2-й формул Ньютона

1) Для вычисления значения интерполирующей функции в точке xx=a1=0.4 методом Ньютона следует применить 1-ю формулу Ньютона, т.к. точка интерполяции xx=a1=0.4 равноудалена от ближайших к ней узлов (0.3 и 0.5) и находится в начале таблицы. Поэтому выберем узлы интерполяции х₀=0.3, х₁=0.5, х₂=0.7, х₃=0.9, х₄=1.1 (x₀=0.3 – ближайший к точке xx=a1=0.4 узел слева ). Для построения интерполяционного многочлена Ньютона в точке a=0.4 воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона

Ближайший к точке а узел слева х=0.3, поэтому полагаем х₀=0.3.

Для линейной интерполяции следует взять узлы х₀=0.3 и х₁=0.5.

Для квадратичной и кубической интерполяции выберем соответственно следующие последовательности узлов:

х₀=0.3, х₁=0.5; х₂=0.7;

х₀=0.3, х₁=0.5; х₂=0.7; х₃=0.9.

(число узлов равно n+1, где n – порядок многочлена).

2) Для построения интерполяционного многочлена Ньютона в точке xx=a2=1 воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона.

Ближайший к точке а узел справа х=1.1, поэтому полагаем х_n=1.1.

Для линейной интерполяции следует взять узлы х_n=1.1 и х_n_-1=0.9.

Для квадратичной и кубической интерполяции выберем соответственно следующие последовательности узлов:

х_n=1.1, х_n_-1=0.9; х_n_-2=0.7;

х_n=0.3, х_n_-1=0.9; х_n_-2=0.7; х_n_-3=0.5

В обоих случаях для выбранной последовательности узлов построим таблицу конечных разностей:

x	y
0.3	-0.88	0.76	0.06	-1.06	2.16
0.5	-0.12	0.82	-1	1.1
0.7	0.7	-0.18	0.1
0.9	0.52	-0.08
1.1	0.44

Интерполяция по формулам Ньютона с использованием Mathcad:

Исходная табличная функция (выбранные узлы) для интерполяции:

Конечные разности: 1 порядка

2 порядка

3 порядка

4 порядка

Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по 1-й формуле Ньютона: Построение многочленов в явном виде:

Линейный

Квадратичный

Кубический

Вычисление значений построенных многочленов в точке xx=a=0.4:

Многочлен 4 степени (пример для сравнения и построения графика):

Графики табличной и интерполирующих функций по 1 формуле Ньютона

Погрешность интерполяции по 1 формуле Ньютона оценивается по формуле:

, где

Для линейной интерполяции:

Для квадратичной интерполяции:

Для кубической интерполяции:

Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по 2-й формуле Ньютона: Для интерполяции в точке xх=a=1 воспользуемся 2 формулой Ньютона Построение многочленов в явном виде:

Линейный

Квадратичный

Кубический

Вычисление значений построенных многочленов в точке xx=a=1:

Графики табличной и интерполирующих функций по 2 формуле Ньютона:

Многочлен 4 степени должен быть одинаковым для обеих формул Ньютона, так как в таблице всего 5 узлов, т.е. использованы все узлы: П о 1 ф о р м у л е: