Определение частот свободных колебаний

 

Решениями однородных уравнений (7.1 – 7.4) являются тригонометрические функции:

(7.5)

 

Или в общем виде:

 

(7.6)

 

Вторые производные  являются ускорениями колебаний тела:

 

,(7.7)

 

где  – амплитуда свободных колебаний;

 - частота свободных колебаний.

Подставляя  и  в уравнения свободных колебаний (7.1 – 7.4), получаем уравнения колебаний в алгебраической форме:

 

,(7.8)

,(7.9)

(7.10)

 

В полученных уравнениях амплитуды колебаний  не равны нулю, поскольку система колеблется. Чтобы тождества удовлетворялись, необходимо равенство нулю определителей составленных из коэффициентов при неизвестных амплитудах, то есть:

· для несимметричного вагона

 

,(7.11)

 

· для симметричного вагона

(7.12)

 (7.13)

 

Полученные уравнения (7.11 – 7.13) являются уравнениями частот. Из решения уравнения (7.12), находим частоты свободных колебаний, 1/с:

 

(7.14)

 

Раскрывая определитель (7.13), получаем выражение вида

 

(7.15)

 

После преобразования (7.15) приходим к характеристическому уравнению:

 

,(7.16)

 

где  – частотный параметр, .

Из уравнения (7.16) корни равны:

 

 

Формы колебаний вагона

 

Частными решениями для симметричного вагона являются функции:

· для независимых колебаний:

 

(7.19)

 

· для взаимосвязанных боковых колебаний:

 

(7.20)

 

Частным решениям (7.19) отвечают формы колебаний подергивания, подпрыгивания, виляния, галопирования. Решениям уравнений (7.20) соответствуют колебания боковой качки I и II рода.

 

Вынужденные колебания вагона на рессорах