Спектр изображения получают прямым двумерным преобразованием Фурье функции, описывающей изображение [12]:
F (, ) = f (x, y) exp (− i (ω x x + ω y y)) dxdy, (2.1)
где ω x, ω y – пространственные частоты; i = , мнимая единица.
Функция exp (− i (ω x x + ω y y)) при фиксированных значениях пространственных частот описывает плоскую волну в плоскости изображения (x, y). Формула (2.1) связывает вещественную функцию, описывающую яркость изображения f (x, y) с комплексной функцией частоты – спектром изображения F (ω x, ω y):
F (, ) = f (x, y) cos (− i (, )) dxdy+
+i (− f (x, y) sin (, )) dxdy=Re( , )+i Im( , ), (2.2)
где Re (ω x, ω y) – реальная часть спектра; Im (ω x, ω y) – мнимая часть спектра.
Рисунок 2.1 Определение пространственных частот изображения.
Амплитуда и фаза спектра определяются по формулам (2.3) и (2.4) соответственно:
F (, ) =
ϕ (щ x, щ y) = arctg (Im (, ) / Re (, )).
Из (2.3)
(ω ω) = x y F, F(, ) exp (i ϕ(, )). (2.4)
Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить изображение по его спектру:
f (x, y) = (1 / 4 ) F ( , ) exp (i (, )) (2.5)
|
|
Спектральные интенсивности изображений
Спектральная интенсивность изображения характеризует
распределение энергии по пространственным частотам. Она определяется как квадрат модуля спектра изображения:
S(, ) = Re + Im (, = ((, )). (2.6)
Для ее названия используются термины спектральная плотность и энергетический спектр.
Энергия изображения определяется как интеграл энергетического спектра по пространственным частотам. В соответствии с теоремой Парсеваля энергия изображения может быть вычислена в соответствии с (2.7):
(x, y) dxdy =