1) Для решения неоднородных линейных систем применяются методы, аналогичные методам, используемым для решения неоднородных линейных уравнений. Одним из таких методов является метод вариации постоянных. Продемонстрируем его суть на следующем примере.
Пример:
Решение. Решая характеристическое уравнение
Находим корни λ1=-1, λ2=4. Собственными векторами, отвечающими найденным собственным значениям, будут соответственно
Следовательно, общее решение соответствующей однородной системы имеет вид
.
Решение неоднородного уравнения в соответствии с методом вариации постоянной будем искать в форме
Для нахождения С1(x) и C2(x) подставив выражение для Y в исходную систему, получим
Отсюда находим:
где - производные постоянные. Таким образом, решение исходной системы будет
2) В случае, когда столбец свободных членов системы имеет специальный вид
(24)
Где Pm(x) и Qk(x) – вектор-столбцы, элементами которых являются многочлены от х степени, не превышающей соответственно n и k, для отыскания частного решения уравнения целесообразно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Для систем он имеет определенную специфику. Суть метода такова.
|
|
Если число γ = a + bi не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде
где и - вектор-столбцы, элементами которых являются многочлены от x степени m=max{k,n}.
Если же γ является корнем характеристического уравнения кратности l (резонансный случай), то частное решение ищется в форме
[ 3 стр 529-531]
Решение линейных систем дифференциальных уравнений.
Решение методом сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.
Решение однородных линейных систем дифференциальных уравнений.