Случай 1
Пример1.
Решение. Составляем характеристическое уравнение
Или . Находим корни:
Решение системы ищем в виде
и
.
Составим систему (3) для корня и определяем и :
Или
Откуда . Полагая , получаем . Таким образом, мы получили решение системы:
Составим далее систему (3) для корня и определяем и :
Откуда и =1, =1. Получаем второе решение системы:
Общее решение системы будет (см (6))
Пример2.
Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы
или
Находим его корни:
Составим систему (3) для корня и определяем и :
или =>
Откуда . Полагая , получаем .
Таким образом, мы получили решение системы:
Составим далее систему (3) для корня и определяем и :
Откуда и =1, =1.
|
|
Получаем второе решение системы:
Общее решение системы будет
Пример3.
Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы
Раскрывая определитель, находим
Составим систему (3) для корня
одно из которых - следствие двух других. Возьмем, например, первые два уравнения:
Отсюда
Приняв k=1/4,получаем собственный вектор (2;1;-2).
При λ=2 имеет систему
Используя первые два уравнения (третье – их следствие), находим
Полагая k=1, находим собственный вектор (7;3;-8).
При λ=3 имеет систему
Из последнего уравнения находим Подставляем это значение p1 в первое уравнение и находим Приняв получаем т.е. собственный вектор (3; 1; -3).
Фундаментальная система решении:
Общее решение записываем в виде
Случай 2.
Пример 1.
Решение. Составляем характеристическое уравнение
или
и находим его корни:
Подставляем в систему (3) и определяем и :
или
Откуда . Полагая , получаем .
Пишем решение (7):
Подставляя в систему (3), находим:
.
Получим вторую систему решений (8):
Перепишем решения:
или
За системы частных решений можно взять отдельно действительные части и отдельно мнимые части
Общим решением системы будет
Пример 2.
Решение. Составляем характеристическое уравнение
или
Характеристические числа: λ1=1, λ2=i, λ3= - i.
|
|
При λ1=1 для определения собственного вектора получаем систему уравнений
Эта система определяет собственный вектор (1; 1; 0).
При λ2=i получаем систему уравнений
Эта система определяет собственный вектор (1; i; 1-i).
При λ3= - i получаем систему уравнений
Эта система определяет собственный вектор (1; -i; 1+i).
Значению λ1=1 соответствуют решения
Значению λ2=i соответствуют решения
Значению λ3= - i соответствуют решения
Отделяя действительные части, получим решения
до решать
Случай 4.
Пример 1.
Решение. Характеристическое уравнение
Имеет единственный корень λ=2 (кратности 2). Ему соответствует единственный собственный вектор
Поэтому решение в этом случае будем искать в виде
Подставляя выражения для y1 и y2 в исходную систему, находим
Отсюда получаем систему
Решая её, находим
Где P1, P2 – произвольные постоянные. Таким образом, общее решение системы имеет вид
Пример 2.
Решение. Составим характеристическое уравнение системы
Раскрывая определитель, получаем
Данное уравнение после несложных преобразовании принимает вид
Отсюда находим: (простой корень), ему соответствует собственный вектор
и (корень кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора
Следовательно, общее решение системы имеет вид