РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Выполнил студент гр. 1322
Конусов Н.Ю.
Иркутск 2007
Проводилось статистическое исследование количества потребляемой электроэнергии в течение каждого часа в дневное время на протяжении пяти дней в двухкомнатной квартире. Объем выборки n=90.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||
Время | Показания счетчика кВт * час | Потребление кВт * час |
5:00 | 30157,52 | |
6:00 | 30157,55 | 0,03 |
7:00 | 30158,01 | 0,46 |
8:00 | 30158,15 | 0,14 |
9:00 | 30158,67 | 0,52 |
10:00 | 30159,59 | 0,92 |
11:00 | 30160,79 | 1,20 |
12:00 | 30161,20 | 0,41 |
13:00 | 30161,40 | 0,20 |
14:00 | 30161,77 | 0,37 |
15:00 | 30162,23 | 0,46 |
16:00 | 30162,57 | 0,34 |
17:00 | 30162,79 | 0,22 |
18:00 | 30163,41 | 0,62 |
19:00 | 30163,97 | 0,56 |
20:00 | 30164,70 | 0,73 |
21:00 | 30165,55 | 0,85 |
22:00 | 30165,98 | 0,43 |
23:00 | 30166,28 | 0,30 |
ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ
1. Точечный вариационный ряд. Распределение xi по частотам ni.
xi | 0 | 0,02 | 0,03 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 | 0,1 | 0,12 | 0,14 | 0,15 | 0,16 | 0,17 |
ni | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 |
0,18 | 0,19 | 0,2 | 0,21 | 0,22 | 0,23 | 0,25 | 0,26 | 0,27 | 0,3 | 0,31 | 0,32 | 0,33 | 0,34 | 0,37
| ||
1 | 1 | 3 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 1 | 2 | 1 | 3 | 4 |
0,38 | 0,39 | 0,4 | 0,41 | 0,42 | 0,43 | 0,45 | 0,46 | 0,47 | 0,49 | 0,51 | 0,52 | 0,53 | 0,54 | 0,55 |
2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 4 | 1 | 1 | 2 |
0,56 | 0,62 | 0,63 | 0,67 | 0,68 | 0,7 | 0,73 | 0,75 | 0,85 | 0,92 | 1,05 | 1,2 | 1,33 | 1,35 | 1,57 |
2 | 4 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Переход к группированным выборочным данным.
xmin = 0,02 xmax = 1,57. Диапазон [ xmin; xmax ] разбиваем на k равных интервалов. Воспользуемся формулой k = log 2 n + 1. k = 7.
Вариационный размах R = xmax - xmin = 1,55. Длина интервала h = R / k = 0,221.
Интервальный ряд
Ci – C i+1 | 0,02 – 0,241 | 0,241 – 0,463 | 0,463 – 0,684 | 0,684 – 0,906 | 0,906 – 1,127 | 1,127 – 1,349 | 1,349– 1,570 |
n*i | 29 | 27 | 21 | 6 | 3 | 2 | 2 |
Равноточечный ряд по частотам
x*i | 0,131 | 0,352 | 0,574 | 0,795 | 1,016 | 1,238 | 1,459 |
n*i | 29 | 27 | 21 | 6 | 3 | 2 | 2 |
Равноточечный ряд по относительным частотам ;
x*i | 0,131 | 0,352 | 0,574 | 0,795 | 1,016 | 1,238 | 1,459 |
w i | 29/90 | 27 / 90 | 21 / 90 | 6 / 90 | 3 / 90 | 2 / 90 | 2 / 90 |
w i | 0,3222 | 0,3000 | 0,2333 | 0,0667 | 0,0333 | 0,0222 | 0,0222 |
Равноточечный ряд по накопительным частотам
x*i | 0,131 | 0,352 | 0,574 | 0,795 | 1,016 | 1,238 | 1,459 |
m*i | 29 | 56 | 77 | 83 | 86 | 88 | 90 |
ГРАФИКИ
|
|
|
|
|
Построение эмпирической функции распределения
F* = nx / n, где nx – число элементов выборки (объема n), меньших, чем x.
x*i | 0,130714 | 0,352143 | 0,573571 | 0,795 | 1,016429 | 1,237857 | 1,459286 |
F* | 0,322222 | 0,622222 | 0,855556 | 0,922222 | 0,955556 | 0,977778 | 1 |
Числовые характеристики выборки по ряду
x*i | 0,131 | 0,352 | 0,574 | 0,795 | 1,016 | 1,238 | 1,459 |
n*i | 29 | 27 | 21 | 6 | 3 | 2 | 2 |
а) Выборочные среднее и дисперсия
< xв > = (1 / n) ´ å(xi ´ ni ) = 0,43
Dв = (1 / n) ´ å(xi - < xв >)2 ´ ni = 0,0955 sn = 0,309 = Dв2
б) Мода – значение, которое чаще всего встречается в данном вариационном ряду.
xmod = 0,370
в) Медиана – средневероятное значение.
xmed = 0,385
г) Асимметрия
1,297
д) Эксцесс
2,338
5. Оценка близости выборочных наблюдений к нормальному закону
Положительная асимметрия говорит о том, что «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания, а положительный эксцесс – о том, что кривая распределения имеет более высокую и острую вершину, чем кривая нормального распределения.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
1. Несмещенная оценка математического ожидания – выборочное среднее.
_
M X = x = 0,4284
Несмещенная дисперсия – исправленная выборочная дисперсия.
0,096541
2. Построение доверительных интервалов для матожидания и дисперсии при неизвестных параметрах нормального закона с доверительной вероятностью, равной γ = 0,95 и 0,99.
а) γ=0,95 n = 90
МХ
=1,987
0,3633 < MX < 0,4953
Дисперсия
α=1-γ=0,05;
64,793
116,989
0,073< < 0,133
б) γ=0,99 n = 90
МХ
=2,633
0,3420 < MX < 0,515
Дисперсия
α=1-γ=0,01;
116,989
0,068 < < 0,147
3. Используя таблицу случайных чисел получить 50 равномерно распределенных чисел из интервала (0; 10) X~R(a,b)
| Вариационный ряд | ||||||||||
1 | 2 | Xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
2 | 2 | ni | 6 | 11 | 7 | 5 | 4 | 3 | 2 | 8 | 4 |
2 | 5 | ||||||||||
4 | 6 | ||||||||||
1 | 5 | ||||||||||
2 | 1 | ||||||||||
5 | 2 | ||||||||||
2 | 8 | ||||||||||
3 | 3 | ||||||||||
8 | 1 | ||||||||||
8 | 3 | ||||||||||
8 | 9 | ||||||||||
1 | 4 | ||||||||||
2 | 9 | ||||||||||
4 | 6 | ||||||||||
9 | 3 | ||||||||||
5 | 9 | ||||||||||
2 | 3 | ||||||||||
4 | 7 | ||||||||||
3 | 2 | ||||||||||
6 | 8 | ||||||||||
1 | 2 | ||||||||||
8 | 3 | ||||||||||
7 | 8 | ||||||||||
8 | 4 |
Интервальный ряд
Ci-Ci+1 | 0-2 | 2-4 | 4-6 | 6-8 | 8-10 |
ni* | 17 | 12 | 7 | 10 | 4 |
Точечный ряд
xi* | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
ni* | 17 | 12 | 7 | 10 | 4 |
xi*ni* | 17 | 36 | 35 | 70 | 36 |
(xi*)2ni* | 17 | 108 | 175 | 490 | 324 |
Методом моментов найдем оценки неизвестных параметров равномерного распределения:
Метод моментов заключается в приравнивании определенного числа выборочных моментов к соответствующим теоретическим моментам.
X~R(a,b)
f(x) = 1 / (b - a), если x Î [a; b]
f(x) = 0, в противном случае
Þ ,а
Получим систему уравнений
|
|
b=7,76-a
a2+a(7.76-a)+60.2176-15.52a+a2=66.84
a2+7.76a-a2-15.52a+a2-6.6224=0
a2-7.76a-6.6224=0
D=60.2176-26.4896»33.728
Возможна пара решений
a = 6,7838 b = 0,9762
a = -0,9762 b = 8,7362
4. Методом максимального правдоподобия найдем точечную оценку параметра λ распределения Пуассона
X ~ П (λ)
P(X=k) =
Функция правдоподобия:
L=
Ln L(λ)=
Уравнение правдоподобия:
=> =>
Докажем несмещенность:
Докажем сосотоятельность: