2020-04-20
103
| | |
| Бифуркация типа вилы при a = 0 на поверхности b = 0 |
| При а=0 поверхности b=0 бифуркаций типа «вилка» точки возврата в фазовом пространстве |
а,b вблизи точки катастрофы видны бифуркации типа «свёртка» с двумя стабильными решениями и область с одним решением. При изменении параметров на синей кривой теряется стабильность и решение может скачком перейти в новое стабильное значение. Но в точках возврата кривая бифуркаций образует вторую ветвь с теряющим стабильность вторым решением, где при увеличении значения b и последующем его уменьшении возникает гистерезис, когда система из одного решения перескакивает на другое и через некоторое время при а отрицательном возвращается на прежнее. При увеличении а петли гистерезиса уменьшаются до 0, после чего исчезают и решение становится единственным и стабильным.
Примером прикладного применения катастрофы с точкой возврата может быть моделирование перемещения электрона с одного энергетического уровня на другой. Бифуркации точек возврата является важной практической частью теории катастроф, проявляющиеся в физике, инженерии и математическом моделировании. Более простые геометрии катастроф более специализированы, и проявляются только в некоторых отдельных случаях.
|
|
|
1.3. Катастрофа типа «ласточкин хвост»
Поверхность катастрофы "Ласточкин хвост" V = x 5 + a x 3 + b x 2 + c x {\displaystyle V=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx}
В этом трёхмерном пространстве наблюдаются три поверхности бифуркаций типа «свёртки», встречающиеся на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые, в свою очередь, встречаются в одной точке бифуркации типа «ласточкин хвост». При изменении параметров поверхностей в областях бифуркаций типа «свёртка» один минимум и один максимум потенциальной функции пропадают, а в бифуркациях с точкой возврата один минимум замещает два минимума и один максимум, за которыми бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке «ласточкиного хвоста» в одном значении Х сходятся два минимума и два максимума. При а положительном за пределами «ласточкиного хвоста» может существовать пара минимума и максимума, или бифуркаций нет совсем, что зависит от значений b и c. Две поверхности бифуркаций типа «свёртка» и две линии бифуркаций с точками возврата при а отрицательном сходятся и заменяются в точке «ласточкиного хвоста» одной поверхностью бифуркаций типа «свёртка».
|
|
|
Катастрофа типа «бабочка»
V=x6+ax4+bx3+cx2+dx
Потенциальная функция может иметь три, два или один локальных минимумов, разделеных областями с бифуркациями типа «свёртка». В точке «бабочка» встречаются три пространства (трёхмерных плоскости) бифуркаций типа «свёртка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и кривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». При положительном значении а все бифуркации пропадают в одной точке, преобразуясь в структуру с точкой возврата.
