Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема :
Значения признака | … | ||||
Частоты | … |
При этом .
Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение . Объясняется это тем, что математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой , а равно .
Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь . Сделав это, мы получим исправленную выборочную дисперсию, которую обычно обозначают , которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии:
.
Если все значения признака выборки объема различны, то исправленная выборочная дисперсия находится по формуле:
.
Если же все значения признака имеют соответственно частоты , причем объем выборки , то
|
|
.
Более удобна форма:
.
В условных вариантах она имеет вид:
.
Пример 1.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом .
1 | 3 | 6 | 26 | |
8 | 40 | 10 | 2 |
Требуется найти несмещенную оценку генеральной средней.
Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:
,
где ─ варианта выборки, ─ частота варианты ; объем выборки.
.
Ответ: .
Пример 2.
Выборочная совокупность задана таблицей распределения
1 | 2 | 3 | 4 | |
20 | 15 | 10 | 5 |
Требуется найти выборочную дисперсию.
Решение. Найдем выборочную среднюю
.
Найдем выборочную дисперсию:
,
Ответ: .